5. 2ème méthode de multiplication


La 2ème méthode de multiplication est basée sur l’égalité suivante :

a x b = (a + b – r) x r + (a – r) x (b – r)

ou bien

a x b = (a + b – r) x r + (r – a) x (r – b)

Cette méthode rend le calcul de multiplication facile notamment lorsque les deux valeurs à multiplier sont proches l’une de l’autre.

1er exemple

Soit l’exemple : 18 x 13

Je choisis pour la référence que j’ai représentée par « r » la valeur 10. Remarquez à quel point le calcul de cette multiplication est facile ?

Je fais la somme 18+13=31  
Je retranche 10 31-10=21  
Je multiplie par 10 21x10=210 Je mémorise 210
Je multiplie les écarts par rapport à 10 8x3=24 j’ajoute 24 à 210, j’obtiens le résultat 234

Vous pouvez vérifier que 18 x 13 = 234.

NB. J’ai retranché la référence 10 en 2ème étape. Mais, dans le cas présent, vous pouvez bien commencer par retrancher la référence 10 de l’une des deux valeurs et ensuite ajouter le reste à l’autre valeur. Par exemple, 18-10=8, puis ajouter 8+13=21. Cela facilite un peu plus le calcul. Par contre, dans le cas de l’exemple suivant où les deux valeurs sont inférieures à la référence, il convient d’ajouter d’abord les deux valeurs et ensuite retrancher la référence du résultat.

2ème exemple

Soit l’exemple : 8 x 6

C’est 48 ; ça doit être appris par cœur. Mais, appliquons la méthode décrite plus haut en utilisant toujours la référence 10.

C’est utile pour comprendre la méthode et également un secours si on a pas bien appris toutes les tables de multiplication.

Je fais la somme 8+6=14  
Je retranche 10 14-10=4  
Je multiplie par 10 4x10=40 Je mémorise 40
Je multiplie les écarts par rapport à 10 2x4=8 J’ajoute 8 à 40, j’obtiens le résultat 48

Ouvrons maintenant une parenthèse. Des gens utilisent leurs doigts pour trouver les produits des nombres entre 6 et 9. Cette manière de compter avec les doigts est expliquable par la méthode que nous sommes en train d’étudier en cette rubrique.

Je décris cette manière d’utilisation des doigts en prenant le même exemple : 6x8 :

1ère règle : les doigts des deux mains sont numérotés du petit auriculaire au pouce avec les valeurs 6 à 10.

Compter Produit avec Main

2ème règle : pour calculer 6x8, je dois mettre le doigt n° 6 (qui est le petit auriculaire) de la main gauche en face du doigt n°8 (qui est le majeur) de la main droite. Et j'imagine une ligne tracée juste au dessus de ces deux doigts

Compter Produit avec Main

3ème régle : Je compte les doigts en bas de cette ligne et c’est le chiffre de dizaines. Il s’agit de 1+3=4 dans notre cas.

NB. Remarquez que cela est équivalent à 6-5+8-5 qui est égale à 6+8-10. Donc, nous retrouvons la formule montrée plus haut.

Compter Produit avec Main

4ème règle : je compte les doigts en haut de la ligne pour chaque main et je les multiplie pour trouver le chiffre d’unités. Il s’agit de 4x2=8 dans notre cas.

NB. Remarquez que cela est équivalent à (10-6)x(10-8). Donc, nous retrouvons toujours la formule utilisée pour notre méthode.

Compter Produit avec Main

3ème exemple

Soit l’exemple : 16 x 7

Ici encore, nous allons utilisez la référence 10. Mais remarquez qu’une valeur est supérieure à 10 tandis que l’autre est inférieure à 10. Lorsque c’est le cas, il faut retrancher le produit des écarts par rapport à la référence 10 et non pas l’ajouter.

Je fais la somme 16+7=23  
Je retranche 10 23-10=13  
Je multiplie par 10 13x10=130 Je mémorise 130
Je multiplie les écarts par rapport à 10 6x3=18 Je retranche 18 de 130, j’obtiens le résultat 112

Exemple avec 100 comme référence

Soit l’exemple : 94 x 109

Les deux valeurs de l’opération sont proches de 100 ; utilisons 100 comme référence :

Je fais la somme 94+109=94+6+109-6
      =100+103
      =203
 
Je retranche 100 203-100=103  
Je multiplie par 100 103x100=10300 Je mémorise 10300
Je multiplie les écarts par rapport à 100 6x9=54 Je retranche 54 de 10300, j’obtiens le résultat 10246

Exemple avec 20 comme référence

Soit l’exemple : 23 x 29

Utilisons 20 comme référence :

Je fais la somme 23+29=52  
Je retranche 20 52-20=32  
Je multiplie par 20 32x20=32x2x10=640 Je mémorise 640
Je multiplie les écarts par rapport à 20 3x9=27 J’ajoute 27 à 640, j’obtiens le résultat 667

Autre exemple : 31 x 56

1ère solution

Utilisons 40 comme référence :

Je fais la somme 31+56=87  
Je retranche 40 87-40=47  
Je multiplie par 40 47x40=47x2x2x10
     =94x2x10
     =1880
Je mémorise 1880
Je multiplie les écarts par rapport à 40 9x16=(9x10)+(9x6)
   =90+54
   =144
Je retranche 144 de 1880, j’obtiens le résultat 1736

2ème solution

31 x 56 = 31 x 28 x 2

Nous pouvons faciliter cette opération en calculons d’abord 31 x 28 et ensuite multiplier le résultat par 2

Pour le calcul 31 x 28, utilisons 30 comme référence :

Je fais la somme 31+28=59  
Je retranche 30 59-30=29  
Je multiplie par 30 29x30=(30x30)-30
    =900-30
    =870
Je mémorise 870
Je multiplie les écarts par rapport à 30 1x2=2 Je retranche 2 de 870, j’obtiens le résultat 868

Je multiplie ensuite 868 par 2, et j'obtiens le résultat :

31 x 56 = 1736

Exemple avec double utilisation de la méthode

Soit l’exemple : 144 x 123

Utilisons 100 comme référence :

Je fais la somme 144+123=267  
Je retranche 100 267-100=167  
Je multiplie par 100 167x100=16700 Je mémorise 16700
Je multiplie les écarts par rapport à 100 44x23=22x23x2 ???

Je vais réappliquer la méthode en utisant la référence 20 pour calculer 22 x 23. Je multiplie ensuite le résultat par 2.

Je fais la somme 22+23=45  
Je retranche 20 45-20=25  
Je multiplie par 20 25x20=25x2x10=500 Je mémorise 500
Je multiplie les écarts par rapport à 20 2x3=6 J’ajoute 6 à 500, j’obtiens le résultat 506

44 x 23 = 22 x 23 x 2 = 506 x 2 = 1012

Une parenthèse : le calcul de 44 x 23 peut être fait d’une autre manière si je remarque que 44=11x4 :

23 x 44 = 23 x 11 x 2 x 2 = 253 x 2 x 2 = 506 x 2 = 1012

Revenons à notre problème principal. J’ai mémorisé 16700, je dois lui ajouter 1012. Le résultat est :

144 x 123 = 17712

Cas particuliers

Produit de 2 valeurs ayant le même nombre de dizaines et dont les chiffres d’unités se complémentent à 10

Pour calculer le produit de 2 valeurs ayant le même nombre de dizaines et dont les chiffres d’unités se complémentent à 10 :

  1. Multiplier le chiffre de dizaines par le chiffre suivant et metre le résultat en centaines
  2. Calculer le produit des chiffres d’unités et l’ajouter au résultat précédent

Exemple 67 x 63 :

  1. Calculer 6 x 7 = 42, je mémorise 4 200
  2. Calculer 7 x 3 = 21. J’ajoute 21 à 4 200. Le résultat est 4 221

NB. Il s’agit d’un cas particulier d’utilisation de la méthode étudiée en cette rubrique.

Carré d’un nombre dont le chiffre d’unités est 5

Pour calculer le carré d’un nombre dont le chiffre d’unités est 5 :

  1. Multiplier le chiffre de dizaines par le chiffre suivant et metre le résultat en centaines
  2. Ajouter 25 au résultat précédent

Exemple : 352

  1. Calculer 3 x 4 = 12, 
  2. Le résultat est 1225.

Lorsque les deux valeurs ne sont pas proches l’une de l’autre

Il est possible d’utiliser la méthode lorsque les deux valeurs à multiplier ne sont pas proches l’une de l’autre, mais en utilisant deux références :

Si une référence est un multiple de l’autre, utilisez la formule :

a x b = (k x a + b - k x r) x r + (a – r) x (b – k x r)

Si les deux références sont multiples d’une même valeur, utilisez la formule :

a x b = (l x a + b x k – k x l x r) x r + (a – k x r) * (b – l x r)

Exemple : 43 x 18

J’utilise comme références 40 et 20. 40 est multiple de 20. J’utilise donc la 1ère formule avec k=2 (car 40=20x2)

Je fais la somme de 43 et 18x2 (*) 43+(18x2)=43+36
       = 79
 
Je retranche 40 (**) 79-40=39  
Je multiplie par 20 (***) 39x20=(40x20)-20
    = 800-20
    =780
Je mémorise 780
Je multiplie les écarts par rapport aux références 3x2=6 Je retranche 6 à 780, j’obtiens le résultat 774 (****)

(*) J'ai multiplié la petite valeur avec le facteur k
(**) J'ai retranché la référence supérieure
(***) J'ai multiplié par la référence inférieure
(****) J’ai retranché car 43 est supérieure à sa référence 40 et 18 est inférieure à sa référence 20.

Exemple : 52 x 34

J’utilise comme références 50 et 30. 50 et 30 sont multiple de 10 avec comme facteurs k=5 et l=3

Je fais la somme de 52x3 et 34x5 (*) (52x3)+(34x5)=156+170
      = 326
 
Je retranche 10x3x5 (**) 326-150=176  
Je multiplie par 10 (***) 176x10=1760 Je mémorise 1760
Je multiplie les écarts par rapport aux références 2x4=8 J’ajoute 8 à 1760, j’obtiens le résultat 1768

(*) J'ai multiplié les valeurs avec les facteus de manière croisée
(**) J'ai retranché le diviseur commun des deux références multiplié par les deux facteurs
(***) J'ai multiplié par 10 qui est le diviseur commun des deux références.


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