5. الطريقة الثانية للحساب الذهني للضرب

---

تعتمد طريقة الضرب الثانية على المعادلة التالية:

a x b = (a + b - r) x r + (a - r) x (b - r)

أو كذلك

a x b = (a + b - r) x r + (r - a) x (r - b)

تجعل هذه الطريقة حساب الضرب أمرًا سهلاً خاصةً عندما تكون القيمتان المراد ضربهما قريبتين من بعضهما البعض.

المثال الأول

لنأخذ المثال: 18 × 13

أختار القيمة 10 للمرجع الذي سميته r في المعادلة أعلاه. لاحظ مدى سهولة حساب هذا الضرب؟

أضيف	18+13=31
أطرح 10	31-10=21
أضرب في 10	21x10=210	أحفظ 210
أضرب الفرقين من 10	8x3=24	أضيف 24 إلى 210 ، وأحصل على النتيجة 234

يمكنك التحقق من أن 18 × 13 = 234.

ملاحظة. لقد طرحت المرجع 10 في الخطوة الثانية. لكن ، فيما يخص هذا المثال ، يمكن البدء بطرح المرجع 10 من إحدى القيمتين ثم إضافة الباقي إلى القيمة الأخرى. أي أطرح 10 من 18 فأحصل على 8 ، ثم أضيف 13 لأحصل على 21. هذا يجعل الحساب أسهل قليلا. و لكن ، في حالة المثال التالي حيث القيمتين أقل من المرجع ، فمن المستحسن إضافة القيمتين أولاً ثم طرح المرجع من النتيجة.

المثال الثاني

لنأخذ المثال: 8 × 6

نعم هو 48 يجب أن نحفظه عن ظهر قلب. ومع ذلك ، فلنطبق الطريقة الموضحة أعلاه ، دائمًا باستخدام المرجع 10. فذلك مفيد لفهم الطريقة وكذلك كمساعدة إذا لم نحفظ جيدا جميع جداول الضرب.

أضيف	8+6=14
أطرح 10	14-10=4
أضرب في 10	4x10=40	أحفظ 40
أضرب الفرقين من 10	2x4=8	أضيف 8 إلى 40 ، وأحصل على النتيجة 48

الآن دعنا نفتح قوس. تُستخدم الأصابع للعثور على ضرب الأرقام بين 6 و 9. يمكن تفسير طريقة العد هذه بالطريقة التي ندرسها في هذا القسم.

سوف أوضح هذه الطريقة للعد بالأصابع باستخدام نفس المثال: 8 × 6

القاعدة الأولى: يتم ترقيم أصابع كلتا اليدين من الخنصر إلى الإبهام بالقيم من 6 إلى 10.

القاعدة الثانية: لحساب 6 x 8 ، يجب أن أضع الإصبع رقم 6 (وهو الخنصر) لليد اليسرى مقابل الإصبع رقم 8 (وهو الوسطى) في اليد اليمنى. و أعتبر وجود خط فوق هذين الإصبعين.

القاعدة الثالثة: أحسب الأصابع أسفل هذا الخط لأجد رقم العشرات. إنه 1 + 3 = 4 في حالتنا.

ملاحظة : لاحظ أن هذا يعادل 5-8 + 5-6 و هو ما يعادل 10 - 6 + 8. نجد إذن الصيغة الموضحة أعلاه.

القاعدة الرابعة: أحسب الأصابع أعلى السطر لكل يد واضربها للعثور على رقم الوحدات. إنه 8 = 2 × 4 في حالتنا.

ملاحظة : لاحظ أن هذا يعادل 8-10 × 6-10. لذلك ، نجد دائمًا الصيغة المستخدمة في طريقتنا.

المثال الثالث

لنأخذ المثال: 16 × 7

هنا مرة أخرى ، سنستخدم المرجع 10. لكن لاحظ أن قيمة واحدة أكبر من 10 بينما الأخرى أقل من 10. عندما يكون الأمر كذلك ، يجب طرح ناتج ضرب الفرقين من 10 وليس إضافته.

أضيف	16+7=23
أطرح 10	23-10=13
أضرب في 10	13x10=130	أحفظ 130
أضرب الفرقين من 10	6x3=18	أطرح 18 من 130 ، وأحصل على النتيجة 112

مثال مع 100 كمرجع

لنأخذ المثال: 94 × 109

قيمتي العملية قريبة من 100؛ دعنا نستخدم 100 كمرجع:

أضيف	94+109     =94+6+109-6     =100+103     =203
أطرح 100	203-100     =103
أضرب في 100	103x100     =10300	أحفظ 10300
أضرب الفرقين من 100	6x9=54	أطرح 54 من 10300 أحصل على النتيجة 10246

مثال مع 20 كمرجع

لنأخذ المثال: 23 × 29

لنستخدم 20 كمرجع:

أضيف	23+29=52
أطرح 20	52-20=32
أضرب في 20	32x20     =32x2x10     =640	أحفظ 640
أضرب الفرقين من 20	3x9=27	أضيف 27 إلى 640 ، وأحصل على النتيجة 667

مثال آخر: 31 × 56

الحل الأول

لنستخدم 40 كمرجع:

أضيف	31+56=87
أطرح 40	87-40=47
أضرب في 40	47x40     =47x2x2x10     =94x2x10     =1880	أحفظ 1880
أضرب الفرقين من 40	9x16    =(9x10)+(9x6)    =90+54    =144	أطرح 144 من 1880 ، وأحصل على النتيجة 1736

الحل الثاني

31 x 56 = 31 x 28 x 2

يمكننا تسهيل هذه العملية عن طريق حساب 31 × 28 أولاً ثم ضرب النتيجة في 2

لحساب 31 × 28 ، استخدم 30 كمرجع:

أضيف	31+28=59
أطرح 30	59-30=29
أضرب في 30	29x30     =(30x30)-30     =900-30     =870	أحفظ 870
أضرب الفرقين من 30	1x2=2	أطرح 2 من 870 ، وأحصل على النتيجة 868

ثم أضرب 868 في 2 فأجد النتيجة:

31 x 56 = 1736

مثال مع استخدام مزدوج للطريقة

لنأخذ المثال: 123 × 144

نستخدم 100 كمرجع:

أضيف	144+123=267
أطرح 100	267-100=167
أضرب في 100	167x100     =16700	أحفظ 16700
أضرب الفرقين من 100	44x23     =22x23x2	???

لحساب 22 × 23سأعيد تطبيق الطريقة باستخدام المرجع 20. ثم اضرب النتيجة في 2.

أضيف	22+23=45
أطرح 20	45-20=25
أضرب في 20	25x20     =25x2x10     =500	أحفظ 500
أضرب الفرقين من 20	2x3=6	أضيف 6 إلى 500 ، وأحصل على النتيجة 506

44 x 23 = 22 x 23 x 2 = 506 x 2 = 1012

ملاحظة: يمكن حساب 44 × 23 بطريقة أخرى إذا لاحظت أن 44 = 11 × 4:

23 x 44 = 23 x 11 x 2 x 2 = 253 x 2 x 2 = 506 x 2 = 1012

لنعد للعملية الرئيسية. لقد قمنا بحفظ 16700 ، أحتاج إلى إضافة 1012 إليها ، والنتيجة هي:

144 x 123 = 17712

حالات خاصة

ضرب قيمتين لهما نفس رقم العشرات ومجموع رقمي وحداتها 10

لحساب ضرب قيمتين لهما نفس رقم العشرات ومجموع رقمي وحداتها 10:

1. أضرب رقم العشرات في الرقم الموالي و أضع النتيجة في المئات
2. أحسب ضرب رقمي الوحدات وأضيفه إلى النتيجة السابقة

مثال 67 × 63:

1. أحسب 6 × 7 = 42 ، أحفظ 4200
2. أحسب 7 × 3 = 21. أضيف 21 إلى 4200. والنتيجة هي 4222

ملاحظة. هذه حالة خاصة لاستخدام الطريقة التي تمت دراستها في هذا القسم.

مربع عدد رقم وحداته 5

لحساب مربع عدد رقم وحداته 5:

1. أضرب رقم العشرات في الرقم الموالي و أضع النتيجة في المئات
2. أضيف 25 إلى النتيجة السابقة

مثال : 35²

1. أحسب 3 × 4 = 12
2. والنتيجة هي 1225.

عندما تكون القيمتين ليست قريبة من بعضها البعض

من الممكن استخدام الطريقة عندما لا تكون القيمتان المراد ضربهما قريبتين من بعضهما البعض ، ولكن باستخدام مرجعين:

إذا كان مرجعا هو مضاعف للآخر ، فاستخدم الصيغة:

a x b = (k x a + b - k x r) x r + (a - r) x (b - k x r)

إذا كان المراجعان مضاعفين لنفس القيمة ، فاستخدم الصيغة:

a x b = (l x a + b x k - k x l x r) x r + (a - k x r) * (b - l x r)

مثال : 18 × 43

أستعمل كمرجعين 40 و 20. و 40 هي مضاعف ل 20. لذلك يمكنني استخدام الصيغة الأولى مع k = 2 (حيث أن 40=20x2)

أضيف (*)	43+(18x2)     =43+36     = 79
أطرح 40(**)	79-40=39
أضرب في 20 (***)	39x20    =(40x20)-20    = 800-20    =780	أحفظ 780
أضرب الفرقين من المرجعين	3x2=6	أطرح 6 من 780 ، وأحصل على النتيجة 774 (****)

(*) قمت بضرب القيمة الصغيرة في العامل k
(**) طرحت المرجع الأكبر
(***) ضربت في المرجع الأصغر
(****) لقد قمت بالطرح لأن 43 أكبر من المرجع 40 و 18 أقل من المرجع 20.

مثال : 34 × 52

أستعمل كمرجعين 50 و 30.و هما مضاعفان للعدد 10 بعوامل k = 5 و l = 3

أضيف 52x3 و 34x5 (*)	(52x3)+(34x5)     =156+170     = 326
أطرح 10x3x5(**)	326-150=176
أضرب في 10 (***)	176x10=1760	أحفظ 1760
أضرب الفرقين من المرجعين	2x4=8	أضيف 8 إلى 1760 ، وأحصل على النتيجة 1768

(*) لقد ضربت كل قيمة في عامل القيمة الأخرى أي بصفة متقاطعة
(**) طرحت القاسم المشترك للمرجعين مضروبًا بالعاملين
(***) لقد ضربت في 10 وهو القاسم المشترك للمرجعين.

---