البكالوريا حساب الدوال الأصلية
تعريف
الدالة F هي دالة أصلية للدالة f إذا كانت الدالة f هي الدالة المشتقة للدالة F.
F '(x) = f(x)
مثال
نأخذ كمثال الدوال f و F1 و F2 المعرفة ب :
f(x) = 3x2 + 1
F1(x) = x3 + x
F2(x) = x3 + x + 2
الدالة f هي الدالة المشتقة للدالة F1، و هي كذلك الدالة المشتقة للدالة F2. الدالتان F1 و F2 هما إذن دالتان أصليتان للدالة f.
خاصية
أي دالة متصلة لها عدد لا نهائي من الدوال الأصلية.
مجموع دالة أصلية وعدد ثابت
إذا كانت الدالة F دالة أصلية لدالة f، فإن أي دالة G مُعرَّفة بـ G(x) = F(x) + C (C ∈ ℝ) هي أيضًا دالة أصلية للدالة f.
مجموع دالتان أصليتان
إذا كانت F دالة أصلية ل f، و G دالة أصلية ل g، فإن F + G دالة أصلية ل f + g.
مثال
نأخذ الدالة f المُعرَّفة ب :
f(x) = 2x + 3x2
الدالة التالية F هي دالة أصلية للدالة f
F(x) = x2 + x3
ضرب دالة أصلية في عدد ثابت
إذا كانت F دالة أصلية ل f، فإن k . F دالة أصلية ل k . f.
مثال
نأخذ الدالة f المُعرَّفة ب :
f(x) = 4x = 2 . 2x
دالة أصلية للدالة f هي الدالة F المُعرَّفة ب :
F(x) = 2 . x2
الدوال الأصلية الاعتيادية
| دوال أصلية F(x) | دالة f(x) |
|---|---|
| kx + C | k (ثابتة) |
| xn+1 n + 1 + C | xn (n ≠ -1) |
| ln|x| + C | 1 x |
| -1 (n - 1) xn-1 + C | 1 xn (n ≠ 1) |
| 2 √x + C | 1 √x |
| ex + C | ex |
الأشكال الاعتيادية
| أمثلة | دوال أصلية F(x) | دالة f(x) | |
|---|---|---|---|
| دوال أصلية F(x) | دالة f(x) | ||
| (x2 + 3x + 1)3 3 + C | (2x + 3) (x2 + 3x + 1)2 | (u(x))n+1 n + 1 + C | u '(x) (u(x))n (n ≠ -1) |
| ln|x2 + 3x + 1| + C | 2x + 3 (x2 + 3x + 1) | ln|u(x)| + C | u '(x) u(x) |
| -1 2 (x2 + 3x + 1)2 + C | 2x + 3 (x2 + 3x + 1)3 | -1 (n - 1) (u(x))n-1 + C | u '(x) (u(x))n (n ≠ 1) |
| 2 √x2 + 3x + 1 + C | 2x + 3 √x2 + 3x + 1 | 2 √u(x) + C | u '(x) √u(x) |
| ex2 + 3x + 1 + C | (2x + 3) ex2 + 3x + 1 | eu(x) + C | u '(x) eu(x) |
الدوال كثيرات الحدود
لإيجاد دالة أصلية لدالة كثيرة الحدود، ما عليك سوى تطبيق القاعدة التالية على كل حد على حدة : الدوال الأصلية ل xn هي xn+1 n + 1 + C.
مثال
نأخذ الدالة f المُعرَّفة ب :
f(x) = 4x2 + 3x + 2
الدالة التالية F هي دالة أصلية للدالة f
F(x) = 4 3 x3 + 3 2 x2 + 2x
حالة الدوال الكسرية
هناك طريقة مستخدمة على نطاق واسع لتحديد الدوال الأصلية للدوال الكسرية وهي تحويلها إلى مجموع عناصر بسيطة يمكن حلها باستعمال إحدى الأشكال الاعتيادية.
المثال 1
نأخذ الدالة f المُعرَّفة ب :
f(x) = 2 (x - 1)(x - 3)
يمكن تحويل هذه الصيغة على الشكل :
f(x) = a x - 1 + b x - 3
لنحسب a و b :
إذن
f(x) = -1 x - 1 + 1 x - 3
الدوال الأصلية للدالة f :
F(x) = -ln|x - 1| + ln|x - 3| + C
المثال 2 - حالة وجود مربع في المقام.
نأخذ الدالة f المُعرَّفة ب :
f(x) = 3x - 2 (x - 2)2
يمكن تحويل هذه الصيغة على الشكل :
f(x) = a x - 2 + b (x - 2)2
لنحسب a و b :
إذن
f(x) = 3 x - 2 + 4 (x - 2)2
الدوال الأصلية للدالة f :
F(x) = 3 ln|x - 2| - 4 x - 2 + C
المثال 3 - الحالة حيث درجة كثيرة الحدود في البسط أكبر من درجة كثيرة الحدود في المقام.
نأخذ الدالة f المُعرَّفة ب :
f(x) = 2x2 - 7x - 2 x - 4
يمكن تحويل هذه الصيغة على الشكل :
f(x) = ax + b + c x - 4
لنحسب a و b و c :
إذن
f(x) = 2x + 1 + 2 x - 4
الدوال الأصلية للدالة f :
F(x) = x2 + x + 2 ln|x - 4| + C