البكالوريا تمارين حساب الدوال الأصلية

راجع الدرس حساب الدوال الأصلية

تمرين 1

احسب الدوال الأصلية للدوال

1. f(x) = x³ + 3x + 5
2. g(x) = 3x³ + 2x² - 4x
3. h(x) = x⁴ - 5x³ - 2x + 3

تصحيح

1 - الدوال الأصلية للدالة f

f(x) = x³ + 3x + 5

F(x) = 1 / 4 x⁴ + 3 / 2 x² + 5x + C

2 - الدوال الأصلية للدالة g

g(x) = 3x³ + 2x² - 4x

G(x) = 3 / 4 x⁴ + 2 / 3 x³ - 2x² + C

3 - الدوال الأصلية للدالة h

h(x) = x⁴ - 5x³ - 2x + 3

H(x) = 1 / 5 x⁵ - 5 / 4 x⁴ - x² + 3x + C

تمرين 2

احسب الدوال الأصلية للدوال

1. f(x) = 1 / 2x + 5
2. g(x) = (2x - 1) (x² - x + 2)
3. h(x) = x / √3x² + 1

تصحيح

1 - الدوال الأصلية للدالة f

f(x) = 1 / 2x + 5

لدينا الشكل u '(x) / u(x) . لأن

(2x + 5) ' = 2

إذن

f(x) = 1 / 2 (2x + 5) ' / 2x + 5

و

F(x) = 1 / 2 ln|2x + 5| + C

2 - الدوال الأصلية للدالة g

g(x) = (2x - 1) (x² - x + 2)

لدينا الشكل u '(x) (u(x))ⁿ (n ≠ -1). لأن

(x² - x + 2) ' = 2x - 1

إذن

g(x) = (x² - x + 2) ' (x² - x + 2)

و

G(x) = 1 / 2 (x² - x + 2)² + C

3 - الدوال الأصلية للدالة h

h(x) = x / √3x² + 1

لدينا الشكل u '(x) / √u(x) . لأن

(3x² + 1) ' = 6x

إذن

h(x) = (3x² + 1) ' / 6 √3x² + 1

و

H(x) = 2 / 6 √3x² + 1 + C = 1 / 3 √3x² + 1 + C

تمرين 3

احسب الدوال الأصلية للدوال

1. f(x) = 1 / (3x + 4)²
2. g(x) = x e^{x2 - 3}
3. h(x) = 3x / 2x² + 3

تصحيح

1 - الدوال الأصلية للدالة f

f(x) = 1 / (3x + 4)²

لدينا الشكل u '(x) / (u(x))ⁿ (n ≠ 1). لأن

(3x + 4)' = 3

إذن

f(x) = (3x + 4) ' / 3 (3x + 4)²

و

F(x) = -1 / 3 (3x + 4) + C

2 - الدوال الأصلية للدالة g

g(x) = x e^{x2 - 3}

لدينا الشكل u '(x) e^u(x). لأن

(x² - 3)' = 2x

إذن

g(x) = 1 / 2 (x² - 3) ' e^{x2 - 3}

و

G(x) = 1 / 2 e^{x2 - 3} + C

3 - الدوال الأصلية للدالة h

h(x) = 3x / 2x² + 3

لدينا الشكل u '(x) / u(x) . لأن

(2x² + 3)' = 4x

إذن

h(x) = 3 / 4 (2x² + 3) ' / 2x² + 3

و

H(x) = 3 / 4 ln|2x² + 3| + C

تمرين 4

احسب الدوال الأصلية للدوال

1. f(x) = 3x e^{x2 + 1}
2. g(x) = x + 1 / √x² + 2x + 5
3. h(x) = 4x + 1 / (2x² + x + 3)²

تصحيح

1 - الدوال الأصلية للدالة f

f(x) = 3x e^{x2 + 1}

لدينا الشكل u '(x) e^u(x). لأن

(x² + 1)' = 2x

إذن

f(x) = 3 / 2 (x² + 1) ' e^{x2 + 1} + C

و

F(x) = 3 / 2 e^{x2 + 1} + C

2 - الدوال الأصلية للدالة g

g(x) = x + 1 / √x² + 2x + 5

لدينا الشكل u '(x) / √u(x) . لأن

(x² + 2x + 5)' = 2x + 2 = 2 (x + 1)

إذن

g(x) = 1 / 2 (x² + 2x + 5) ' / √x² + 2x + 5

و

G(x) = 1 / 2 2 √x² + 2x + 5 + C = √x² + 2x + 5 + C

3 - الدوال الأصلية للدالة h

h(x) = 4x + 1 / (2x² + x + 3)²

لدينا الشكل u '(x) / (u(x))ⁿ (n ≠ 1). لأن

(2x² + x + 3)' = 4x + 1

إذن

h(x) = (2x² + x + 3) ' / (2x² + x + 3)²

و

H(x) = -1 / 2x² + x + 3 + C

تمرين 5

احسب الدوال الأصلية للدالة f المعرفة ب :

f(x) = x + 5 / (x - 1)(x + 2)

من الممكن كتابة :

f(x) = a / x - 1 + b / x + 2

لنحسب a و b :

إذن

f(x) = 2 / x - 1 - 1 / x + 2

الدوال الأصلية للدالة f :

F(x) = 2 ln|x - 1| - ln|x + 2| + C

تمرين 6

احسب الدوال الأصلية للدالة f المعرفة ب :

f(x) = 2x - 5 / (x - 1)²

من الممكن كتابة :

f(x) = a / x - 1 + b / (x - 1)²

لنحسب a و b :

إذن

f(x) = 2 / x - 1 - 3 / (x - 1)²

الدوال الأصلية للدالة f :

F(x) = ln|x - 1| + 3 / x - 1 + C

تمرين 7

احسب الدوال الأصلية للدالة f المعرفة ب :

f(x) = 2x² - x - 2 / x + 1

من الممكن كتابة :

f(x) = ax + b + c / x + 1

لنحسب a و b و c :

إذن

f(x) = 2x - 3 + 1 / x + 1

الدوال الأصلية للدالة f :

F(x) = x² - 3x + ln|x + 1| + C