البكالوريا حساب الدالة المشتقة
قابلية الإشتقاق لدالة في مجال
تعريف
تكون دالة قابلة للإشتقاق في مجال ضمن مجال تعريفها إذا كانت قابلة للإشتقاق في أي نقطة من هذا المجال.
الدالة المشتقة للدالة f، المشار إليها بـ f ' ، ترتبط كل نقطة a من المجال I بالعدد المشتق في هذه النقطة f '(a).
مبرهنة
الدوال كثيرة الحدود قابلة للاشتقاق في أي عدد حقيقي.
الدوال الكسرية قابلة للاشتقاق في أي نقطة من مجالات تعريفها.
الدوال المحددة بصيغة تحتوي على جذور تربيعية قابلة للاشتقاق في أي نقطة من مجالات تعريفها.
ملاحظة
نذكر من الدرس السابق أن مشتق الدالة f في نقطة a يتم حسابه بواسطة :
lim x→a f(x) - f(a) x – a
في هذا الدرس، سنرى قواعد تسمح لنا بحساب الدالة المشتقة لدالة انطلاقا من صيغتها.
الدوال المشتقة للدوال المعتادة
| f '(x) الدالة المشتقة | f(x) الدالة |
|---|---|
| 0 | k (ثابتة) |
| n xn-1 | xn |
| -1 x2 | 1 x |
| -n xn+1 | 1 xn |
| 1 2 √x | √x |
ملاحظة
من المناسب تعلم القواعد الثلاثة الأخيرة وهي :
( 1 x ) ' = -1 x2
( 1 xn ) ' = -n xn+1
(√x) ' = 1 2 √x
ومع ذلك، فإن هذه القواعد يمكن استنتاجها من القاعدة :
(xn) ' = n xn-1
لأجل ذلك، يجب أن نتذكر أن :
1 x = x-1
1 xn = x-n
√x = x1/2
إذن
( 1 x ) ' = (x-1) ' = -1 x-1-1 = -1 x2
( 1 xn ) ' = (x-n) ' = -n x-n-1 = -n xn+1
(√x) ' = (x½) ' = 1 2 x½-1 = 1 2 √x
العمليات على الدوال
| أمثلة | f '(x) الدالة المشتقة | f(x) الدالة |
|---|---|---|
| (x3 + x2 - 3) ' = 3x2 + 1 | u '(x) + v '(x) | u(x) + v(x) |
| (3x2 + 2x) ' = 3(2x) + 2 = 6x + 2 |
k u '(x) | k u(x) |
| أمثلة للجداء | u '(x) . v(x) + u(x) . v '(x) | u(x) . v(x) |
| أمثلة للمقلوب | -v '(x) (v(x))2 | 1 v(x) |
| أمثلة للكسور | u '(x) . v(x) - u(x) . v '(x) (v(x))2 | u(x) v(x) |
| أمثلة دوال مركبة | u '(x) . v '(u(x)) | v(u(x)) |
| 1 u '(u -1(x)) | u -1(x) |
أمثلة
أمثلة للجداء
حدد الدوال المشتقة للدوال f وg وh المعرفة ب :
تصحيح
بالطبع، يمكننا أولاً نشر صيغ f(x) وg(x) وh(x) قبل الاشتقاق. يمكنك التحقق من أن النتيجة التي يتم الحصول عليها هي نفسها.
حالة الدالة h
إذن
أمثلة للمقلوب
حدد الدوال المشتقة للدوال f وg وh المعرفة ب :
تصحيح
أمثلة للكسور
حدد الدوال المشتقة للدوال f وg وh المعرفة ب :
تصحيح
أمثلة دوال مركبة
نطبق قاعدة اشتقاق الدالة المركبة على أمثلة للقوى والجذور.
حدد الدوال المشتقة للدوال f وg وh المعرفة ب :
تصحيح
مبرهنة
إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق في المجال I، إذن
- إذا كانت f '(x) > 0 لكل x من I فإن الدالة f تصاعدية على I.
- إذا كانت f '(x) < 0 لكل x من I فإن الدالة f تنازلية على I.
- إذا كانت f '(x) = 0 لكل x من I فإن الدالة f تابثة على I.
مبرهنة
إذا كانت دالة f قابلة للاشتقاق في المجال I و f ' تنعدم في نقطة x0 من I مع تغيير الإشارة، فإن f(x0) هو حد نسبي للدالة f.
مثال
لنعتبر الدالة f المعرفة كما يلي :
f(x) = x3
الدالة المشتقة ل f :
f '(x) = 3x2
الدالة المشتقة لـ f دائمًا موجبة وتنعدم في 0. جدول التغيرات :
تنعدم الدالة المشتقة ل f في 0، ولكنها لا تغير الإشارة. التمثيل المبياني للدالة f له مماس أفقي في 0. لكن f(0) ليس حد أقصى للدالة f.
