الباكالوريا اتصال الدوال
اتصال دالة في نقطة
تعريف
تكون دالة f متصلة عند نقطة x0 إذا وفقط إذا
lim x→x0 f(x) = f(x0)
العمليات على الدوال المتصلة
مجموع دالتين متصلتين عند نقطة ما، هو دالة متصلة عند تلك النقطة.
جداء دالتين متصلتين عند نقطة ما، هو دالة متصلة عند تلك النقطة.
كسر دالتين متصلتين عند نقطة ما (بالطبع، يجب ألا تكون تلك الموجودة في المقام تساوي صفر عند هذه النقطة) هي دالة متصلة عند هذه النقطة.
تركيب دالتين g○f متصل عند نقطة x0 إذا كانت f متصلة عند هذه النقطة و g متصلة عند f(x0).
ومن هذا نستنتج
الدوال كثيرة الحدود متصلة في أي عدد حقيقي.
الدوال الكسرية متصلة في كل نقطة من مجالات تعريفها.
الدوال المحددة بصيغ تحتوي على جذور مربعة تكون أيضًا متصلة عند كل نقطة من مجالات تعريفها.
مثال اتصال عند نقطة
يطلب دراسة اتصال دالة عند نقطة، على سبيل المثال، عندما تكون صيغة الدالة مختلفة على يمين ويسار هذه النقطة. نستعمل إذا التعريف الوارد أعلاه.
لنعتبر الدالتان العدديتان f و g المعرفتان بما يلي:
لندرس اتصال الدالتين f و g عند النقطة 1.
و
إذن
وبالتالي فإن الدالة f متصلة عند 1.
فيما يتعلق باتصال الدالة g عند النقطة 1.
و
إذن
وبالتالي فإن الدالة g ليست متصلة عند 1.
مثال آخر
لنعتبر الدالتان العدديتان f و g المعرفتان بما يلي:
لندرس اتصال الدالتين f و g عند النقطة 2.
إذن
وبالتالي فإن الدالة f متصلة عند 2.
فيما يتعلق باتصال الدالة g عند النقطة 2.
إذن
وبالتالي فإن الدالة g ليست متصلة عند 2.
اتصال دالة على مجال
تكون دالة متصلة على مجال ضمن مجال تعريفها إذا كانت متصلة عند أي نقطة من هذا المجال.
مثال
لنعتبر الدالة f المعرفة بما يلي:
لندرس اتصال الدالة f على المجال [0;2].
الدالة f معرفة على المجموعة [0;1[U]1;2] بواسطة دالة كسرية. ولذلك فهي متصلة على هذه المجموعة.
يبقى التحقق من اتصال الدالة f عند النقطة 1.
إذن
وبالتالي فإن الدالة f متصلة عند 1.
وبالتالي فإن الدالة f متصلة على المجال [0;2].