البكالوريا تمارين الحساب التكاملي

راجع الدرس حساب التكاملي

تمرين 1

احسب التكاملات التالية

1. I = ∫ 1 2 (x² + 2x + 1) dx
2. J = ∫ 0 1 (4x³ + x² - 4x) dx
3. K = ∫ -1 1 (x³ + 3x² - x + 1) dx

تصحيح

1 - حساب I

I = ∫ 1 2 (x² + 2x + 1) dx

I = [ 1 / 3 x³ + x² + x ] 1 2

I = 8 / 3 + 4 + 2 - ( 1 / 3 + 1 + 1) = 19 / 3

2 - حساب J

J = ∫ 0 1 (4x³ + x² - 4x) dx

J = [ x⁴ + 1 / 3 x³ - 2x² ] 0 1

J = 1 + 1 / 3 - 2 = -2 / 3

3 - حساب K

K = ∫ -1 1 (x³ + 3x² - x + 1) dx

K = [ 1 / 4 x⁴ + x³ - 1 / 3 x² + x ] -1 1

K = 1 / 4 + 1 - 1 / 3 + 1 - ( 1 / 4 - 1 - 1 / 3 - 1) = 4

تمرين 2

احسب التكاملات التالية

1. I = ∫ 0 1 e^x / e^x + 2 dx
2. J = ∫ 1 e ln(x) / x dx
3. K = ∫ 2 3 x³ / √x⁴ - 1 dx

تصحيح

1 - حساب I

I = ∫ 0 1 e^x / e^x + 2 dx

I = ∫ 0 1 (e^x + 2) ' / e^x + 2 dx

I = [ ln|e^x + 2| ] 0 1

I = ln(e + 2) - ln(3)

2 - حساب J

J = ∫ 1 e ln(x) / x dx

J = ∫ 1 e (ln(x)) ' ln(x) dx

J = [ (ln(x))² / 2 ] 1 e

J = 1 / 2

3 - حساب K

K = ∫ 2 3 x³ / √x⁴ - 1 dx

K = ∫ 2 3 (x⁴ - 1) ' / 4 √x⁴ - 1 dx

K = [ 2 √x⁴ - 1 / 4 ] 2 3 = 1 / 2 [ √x⁴ - 1 ] 2 3

K = 1 / 2 (√80 - √15)

تمرين 3

احسب التكاملات التالية

1. I = ∫ 0 1 1 / (2x + 3)³ dx
2. J = ∫ -1 1 (x² - 1) e^{x3 - 3x + 1} dx
3. K = ∫ 1 2 8x - 4 / 2x² - 2x + 1 dx

تصحيح

1 - حساب I

I = ∫ 0 1 1 / (2x + 3)³ dx

I = ∫ 0 1 (2x + 3) ' / 2 (2x + 3)³ dx

I = [ -1 / 4 (2x + 3)² ] 0 1

I = 4 / 225

2 - حساب J

J = ∫ -1 1 (x² - 1) e^{x3 - 3x + 1} dx

J = ∫ -1 1 1 / 3 (x³ - 3x + 1) ' e^{x3 - 3x + 1} dx

J = 1 / 3 [ e^{x3 - 3x + 1} ] -1 1

J = 1 / 3 ( 1 / e - e³)

3 - حساب K

K = ∫ 1 2 8x - 4 / 2x² - 2x + 1 dx

K = ∫ 1 2 2 (2x² - 2x + 1) ' / 2x² - 2x + 1 dx

K = 2 [ ln(2x² - 2x + 1) ] 1 2

K = 2 ln(5)

تمرين 4

احسب التكاملات التالية

1. I = ∫ 0 1 x² e^{x3 + 1} dx
2. J = ∫ 1 2 2x - 1 / √x² - x + 3 dx
3. K = ∫ 1 2 2x + 3 / (x² + 3x - 2)³ dx

تصحيح

1 - حساب I

I = ∫ 0 1 x² e^{x3 + 1} dx

I = ∫ 0 1 1 / 3 (x³ + 1) ' e^{x3 + 1} dx

I = 1 / 3 [ e^{x3 + 1} ] 0 1

I = 1 / 3 (e² - e)

2 - حساب J

J = ∫ 1 2 2x - 1 / √x² - x + 3 dx

J = ∫ 1 2 (x² - x + 3) ' / √x² - x + 3 dx

J = [ 2 √x² - x + 3 ] 1 2

J = 2 (√5 - √3)

3 - حساب K

K = ∫ 1 2 2x + 3 / (x² + 3x - 2)³ dx

K = ∫ 1 2 (x² + 3x - 2) ' / (x² + 3x - 2)³ dx

K = [ -1 / 2 (x² + 3x - 2)² ] 1 2

K = 15 / 128

تمرين 5

احسب التكامل التالي :

I = ∫ 0 1 2x + 7 / (x + 2)(x + 3) dx

بالإمكان كتابة :

2x + 7 / (x + 2)(x + 3) = a / x + 2 + b / x + 3

لنحسب a و b :

إذن

I = ∫ 0 1 ( 3 / x + 2 - 1 / x + 3 ) dx

I = [ 3 ln|x + 2| - ln|x + 3| ] 0 1

I = 4ln(3) - ln(4) - 3ln(2)

تمرين 6

احسب التكامل التالي :

I = ∫ 0 1 x / (x + 2)² dx

بالإمكان كتابة :

x / (x + 2)² = a / x + 2 + b / (x + 2)²

لنحسب a و b :

إذن

I = ∫ 0 1 ( 1 / x + 2 - 2 / (x + 2)² ) dx

I = [ ln|x + 2| + 2 / x + 2 ] 0 1

I = ln(3) - ln(2) - 1 / 3

تمرين 7

احسب التكامل التالي :

I = ∫ 0 1 x² + 2x / x + 1 dx

بالإمكان كتابة :

x² + 2x / x + 1 = ax + b + c / x + 1

لنحسب a و b و c :

إذن

I = ∫ 0 1 (x + 1 - 1 / x + 1 ) dx

I = [ x² / 2 + x - ln|x + 1| ] 0 1

I = 3 / 2 - ln(2)

تمرين 8

احسب التكامل التالي باستعمال التكامل بالتجزئة :

I = ∫ 1 2 (x + 2) e^x dx

نضع :

u(x) = x + 2 ⇒ u '(x) = 1

و

v '(x) = e^x ⇒ v(x) = e^x

إذن

تمرين 9

احسب التكامل التالي باستعمال التكامل بالتجزئة :

I = ∫ 1 2 2x³ e^{x2 - 2} dx

I = ∫ 1 2 x² . 2x e^{x2 - 2} dx

      ∫ 1 2 x² (x² - 2) ' e^{x2 - 2} dx

نضع :

u(x) = x² ⇒ u '(x) = 2x

و

v '(x) = (x² - 2) ' e^{x2 - 2} ⇒ v(x) = e^{x2 - 2}

إذن

تمرين 10

احسب التكامل التالي باستعمال التكامل بالتجزئة :

I = ∫ 0 1 x² e^x dx

نضع :

u1(x) = x² ⇒ u1 '(x) = 2x

و

v1 '(x) = e^x ⇒ v1(x) = e^x

إذن

لحساب التكامل ∫ 0 1 x e^x dx، نستعمل مرة أخرى تقنية التكامل بالتجزئة. نضع :

u2(x) = x ⇒ u2 '(x) = 1

و

v2 '(x) = e^x ⇒ v2(x) = e^x

إذن

تمرين 11

احسب التكامل التالي باستعمال التكامل بالتجزئة :

I = ∫ 1 2 (x + 1) ln(x) dx

نضع :

u(x) = ln(x) ⇒ u '(x) = 1 / x

و

v '(x) = x + 1 ⇒ v(x) = 1 / 2 x² + x

إذن

تمرين 12

احسب التكامل التالي باستعمال التكامل بالتجزئة :

I = ∫ 1 2 ln(x) dx

نضع :

u(x) = ln(x) ⇒ u '(x) = 1 / x

و

v '(x) = 1 ⇒ v(x) = x

إذن