البكالوريا تمارين الدالة الأسية للأساس a

راجع الدرس الدالة الأسية للأساس a

تمرين 1

حل في ℝ المعادلات التالية

1. 10^{x - 2} = 10³
2. 10^{x - 5} - 10^{3x + 1} = 0
3. 10^{4x - 1} = 1 000

تصحيح

1 - المعادلة

مجموعة الحلول للمعادلة هي S = {5}

2 - المعادلة

مجموعة الحلول للمعادلة هي S = {-3}

3 - المعادلة

مجموعة الحلول للمعادلة هي S = {1}

تمرين 2

حل في ℝ المتراجحات التالية

1. 10^{2x - 3} / 10^{x + 1} > 10
2. 10^{3x - 2} / 10^{x + 1} > 10^{2x - 3} / 10^{x + 4}
3. 10^x+1 + 10^x-1 < 101

تصحيح

1 - المتراجحة

مجموعة الحلول للمتراجحة هي S = ] 5 ; +∞ [

2 - المتراجحة

مجموعة الحلول للمتراجحة هي S = ] -4 ; +∞ [

3 - المتراجحة

مجموعة الحلول للمتراجحة هي S = ] -∞ ; 1 [

تمرين 3

دراسة الدالة f المعرَّفة على ℝ^* ب :

f(x) = 10^x / x

1. احسب النهايات في 0 و -∞ و +∞ ل f(x). استنتج
2. >احسب f '(x).
3. ادرس إشارة f '(x) و أنشئ جدول التغيرات للدالة
4. احسب f "(x).
5. ادرس إشارة f "(x). استنتج تحدب و تقعر مبيان الدالة Cf.
6. احسب النهاية في +∞ ل f(x) / x . استنتج
7. ارسم المبيان Cf.

تصحيح

1 - النهايات في 0 و -∞ و +∞ ل f(x)

lim x→-∞ f(x) = lim x→-∞ 10^x / x = 0

lim x→0 x < 0 f(x) = lim x→0 x < 0 10^x / x = -∞

lim x→0 x > 0 f(x) = lim x→0 x > 0 10^x / x = +∞

lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 10^x / x = +∞

2 - حساب f '(x)

3 - إشارة f '(x) و جدول التغيرات

f '(x) > 0 ⇒ ln(10) . x - 1 > 0 ⇒ x > 1 / ln(10)

حساب f( 1 / ln(10) ).

f( 1 / ln(10) ) = ln(10) . 10^1/ln(10) = ln(10) . e^{ln(10).1/ln(10)} = e ln(10)

جدول التغيرات كما يلي :

4 - حساب f "(x)

5 - إشارة f "(x) و التقعر و التحدب

لندرس إشارة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية

(ln(10))² x² - 2 ln(10) x + 2

المميِّز

Δ = 4 (ln(10))² - 4 . 2 . (ln(10))² = -4 (ln(10))²

المميِّز دائما سالب. كثيرة الحدود دائما موجية.

جدول التقعر و التحدب :

6 - الفروع اللانهائية

lim x→+∞ f(x) / x = lim x→+∞ 10^x / x² = +∞

يقبل المبيان Cf فرعا شلجميا بجوار +∞ اتجاهه محور الأراتيب.

7 - مبيان Cf

<< 6. البكالوريا الدالة الأسية للأساس a