الباكالوريا تمارين مبرهنة القيم الوسطية
راجع الدرس مبرهنة القيم الوسطية
تمرين 1
لنعتبر الدالة f المعرفة كما يلي:
1 - بين أن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلاً واحدًا على الأقل في المجال [1; 2[.
2 - احسب الدالة المشتقة للدالة f.
3 - تأكد أن الدالة المشتقة ل f تنعدم عند 1. وادرس إشارة هذه الدالة المشتقة.
4 - بين أن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلاً فريدًا في المجال [1; 2[.
5 - استخدم طريقة التنصيف لإيجاد حل تقريبي للمعادلة f(x) = 0 في المجال [1; 2[.
تصحيح
1 - الدالة f معرفة على المجموعة ℝ-{2} بواسطة دالة كسرية. ولذلك فهي متصلة على هذه المجموعة.
علاوة على ذلك
f(1) = 2.
إذن
إذن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلاً واحدًا على الأقل في المجال [1; 2[.
2 - الدالة المشتقة للدالة f.
3 - حساب f'(1)
f'(1) = 0.
إذن، كثيرة الحدود "x3 - 3x2 + 2" تقبل القسمة على "x - 1".
يكفي إجراء القسمة الإقليدية للحصول على التعميل
x3 - 3x2 + 2 = (x - 1)(x2 – 2x – 2).
لإيجاد النقط حيث تنعدم كثيرة الحدود "x2 – 2x – 2"، نحسب المميز
Δ = 12.
نحسب نقط انعدام كثيرة الحدود "x2 – 2x – 2"
x1 = 1 - √3.
و
x2 = 1 + √3.
جدول الإشارات للدالة المشتقة هو
4 - جدول التغيرات للدالة f
وبالتالي فإن الدالة f تنازليّة على المجال [1; 2[.
إذن حل المعادلة f(x) = 0 في المجال [1; 2[ وحيدا.
5 - استخدام طريقة التنصيف لإيجاد حل تقريبي للمعادلة f(x) = 0 في المجال [1; 2[.
نقسم المجال [1; 2[ إلى المجالين [1; 1,5] و [1,5; 2[.
f(1).f(1.5)=2,25>0
f(1.5). lim x→2 x > 2 f(x)=-∞<0
نحتفظ بالمجال [1,5; 2[ و نقسمه إلى المجالين [1,5; 1,75] و [1,75; 2[.
f(1,5).f(1,75)=-2,5<0
f(1,75). lim x→2 x > 2 f(x)=+∞>0
نحتفظ بالمجال [1,5; 1,75] و نقسمه إلى المجالين [1,5; 1,625] و [1,625; 1,75].
f(1,5).f(1,625)=0,13>0
f(1,625).f(1,75)=-0,25<0
حل المعادلة f(x) = 0 في المجال [1; 2[ محصور بين 1,625 و 1,75.