Baccalauréat Continuité de fonctions
Continuité d'une fonction en un point
Définition
Une fonction f est continue en un point x0 si et seulement si
lim x→x0 f(x) = f(x0)
Opérations sur les fonctions continues
La somme de deux fonctions continue en un point est une fonction continue en ce point.
Le produit de deux fonctions continue en un point est une fonction continue en ce point.
La fraction de deux fonctions continue en un point (bien entendu, celle en dénominateur ne doit pas être null en ce point) est une fonction continue en ce point.
La Composition de deux fonctions g○f est continue en un point x0 si f est continue en ce point et g est continue en f(x0).
De cela nous déduisons
Les fonctions polynomiales sont continues en tout nombre réel.
Les fonctions rationnelles sont continues en tout point de leurs domaines de définition.
Les fonctions définies par une expression comportant des racines carrées sont également continues en tout point de leurs domaines de définition.
Exemple de continuité en un point
On demande l'étude de la continuité d'une fonction en un point lorsque par exemple l'expression de la fonction à droite et à gauche de ce point n'est pas la même. Nous procédons par utilisation de la définition données ci-dessus.
Soit les fonctions numériques f et g définies par:
Etudions la continuité des fonctions f et g au point 1.
Et
Donc
Donc, la fonction f est continue en 1.
Concernant la continuité de la fonction g au point 1.
Et
Donc
Donc, la fonction g n'est pas continue en 1.
Autre exemple
Soit les fonctions numériques f et g définies par:
Etudions la continuité des fonctions f et g au point 2.
Donc
Donc, la fonction f est continue en 2.
Concernant la continuité de la fonction g au point 2.
Donc
Donc, la fonction g n'est pas continue en 2.
Continuité d'une fonction sur un intervalle
Une fonction est continue sur un intervalle inclu dans son domaine de définition si elle est continue en tout point de cet intervalle.
Exemple
Soit la fonction numérique f définie par:
Etudions la continuité de la fonction f sur l'intervalle [0;2].
La fonction f est définie sur l'ensemble [0;1[U]1;2] par une fonction rationnelle. Elle est donc continue sur cet ensemble.
Il reste à vérifier la continuité de la fonction f au point 1.
Donc
Donc, f est continue en 1.
Donc, f est continue sur l'intervalle [0;2].