Baccalauréat Exercices Calcul Intégral
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Exercice 1
Calculer les intégrales suivantes
- I = ∫ 1 2 (x2 + 2x + 1) dx
- J = ∫ 0 1 (4x3 + x2 - 4x) dx
- K = ∫ -1 1 (x3 + 3x2 - x + 1) dx
Solution
1 - Calcul de I
I = ∫ 1 2 (x2 + 2x + 1) dx I = [ 1 3 x3 + x2 + x ] 1 2 I = 8 3 + 4 + 2 - ( 1 3 + 1 + 1) = 19 3
2 - Calcul de J
J = ∫ 0 1 (4x3 + x2 - 4x) dx J = [ x4 + 1 3 x3 - 2x2 ] 0 1 J = 1 + 1 3 - 2 = -2 3
3 - Calcul de K
K = ∫ -1 1 (x3 + 3x2 - x + 1) dx K = [ 1 4 x4 + x3 - 1 3 x2 + x ] -1 1 K = 1 4 + 1 - 1 3 + 1 - ( 1 4 - 1 - 1 3 - 1) = 4
Exercice 2
Calculer les intégrales suivantes
- I = ∫ 0 1 ex ex + 2 dx
- J = ∫ 1 e ln(x) x dx
- K = ∫ 2 3 x3 √x4 - 1 dx
Solution
1 - Calcul de I
I = ∫ 0 1 ex ex + 2 dx I = ∫ 0 1 (ex + 2) ' ex + 2 dx I = [ ln|ex + 2| ] 0 1 I = ln(e + 2) - ln(3)
2 - Calcul de J
J = ∫ 1 e ln(x) x dx J = ∫ 1 e (ln(x)) ' ln(x) dx J = [ (ln(x))2 2 ] 1 e J = 1 2
3 - Calcul de K
K = ∫ 2 3 x3 √x4 - 1 dx K = ∫ 2 3 (x4 - 1) ' 4 √x4 - 1 dx K = [ 2 √x4 - 1 4 ] 2 3 = 1 2 [ √x4 - 1 ] 2 3 K = 1 2 (√80 - √15)
Exercice 3
Calculer les intégrales suivantes
- I = ∫ 0 1 1 (2x + 3)3 dx
- J = ∫ -1 1 (x2 - 1) ex3 - 3x + 1 dx
- K = ∫ 1 2 8x - 4 2x2 - 2x + 1 dx
Solution
1 - Calcul de I
I = ∫ 0 1 1 (2x + 3)3 dx I = ∫ 0 1 (2x + 3) ' 2 (2x + 3)3 dx I = [ -1 4 (2x + 3)2 ] 0 1 I = 4 225
2 - Calcul de J
J = ∫ -1 1 (x2 - 1) ex3 - 3x + 1 dx J = ∫ -1 1 1 3 (x3 - 3x + 1) ' ex3 - 3x + 1 dx J = 1 3 [ ex3 - 3x + 1 ] -1 1 J = 1 3 ( 1 e - e3)
3 - Calcul de K
K = ∫ 1 2 8x - 4 2x2 - 2x + 1 dx K = ∫ 1 2 2 (2x2 - 2x + 1) ' 2x2 - 2x + 1 dx K = 2 [ ln(2x2 - 2x + 1) ] 1 2 K = 2 ln(5)
Exercice 4
Calculer les intégrales suivantes
- I = ∫ 0 1 x2 ex3 + 1 dx
- J = ∫ 1 2 2x - 1 √x2 - x + 3 dx
- K = ∫ 1 2 2x + 3 (x2 + 3x - 2)3 dx
Solution
I = ∫ 0 1 x2 ex3 + 1 dx I = ∫ 0 1 1 3 (x3 + 1) ' ex3 + 1 dx I = 1 3 [ ex3 + 1 ] 0 1 I = 1 3 (e2 - e)
2 - Calcul de J
J = ∫ 1 2 2x - 1 √x2 - x + 3 dx J = ∫ 1 2 (x2 - x + 3) ' √x2 - x + 3 dx J = [ 2 √x2 - x + 3 ] 1 2 J = 2 (√5 - √3)
3 - Calcul de K
K = ∫ 1 2 2x + 3 (x2 + 3x - 2)3 dx K = ∫ 1 2 (x2 + 3x - 2) ' (x2 + 3x - 2)3 dx K = [ -1 2 (x2 + 3x - 2)2 ] 1 2 K = 15 128
Exercice 5
Calculer l'intégrale suivante :
I = ∫ 0 1 2x + 7 (x + 2)(x + 3) dx
On peut écrire :
2x + 7 (x + 2)(x + 3) = a x + 2 + b x + 3
Déterminons a et b :
Donc
I = ∫ 0 1 ( 3 x + 2 - 1 x + 3 ) dx I = [ 3 ln|x + 2| - ln|x + 3| ] 0 1 I = 4ln(3) - ln(4) - 3ln(2)
Exercice 6
Calculer l'intégrale suivante :
I = ∫ 0 1 x (x + 2)2 dx
On peut écrire :
x (x + 2)2 = a x + 2 + b (x + 2)2
Déterminons a et b :
Donc
I = ∫ 0 1 ( 1 x + 2 - 2 (x + 2)2 ) dx I = [ ln|x + 2| + 2 x + 2 ] 0 1 I = ln(3) - ln(2) - 1 3
Exercice 7
Calculer l'intégrale suivante :
I = ∫ 0 1 x2 + 2x x + 1 dx
On peut écrire :
x2 + 2x x + 1 = ax + b + c x + 1
Déterminons a, b et c :
Donc
I = ∫ 0 1 (x + 1 - 1 x + 1 ) dx I = [ x2 2 + x - ln|x + 1| ] 0 1 I = 3 2 - ln(2)
Exercice 8
Calculer par intégration par parties l'intégrale suivante :
I = ∫ 1 2 (x + 2) ex dx
On pose :
u(x) = x + 2 ⇒ u '(x) = 1
et
v '(x) = ex ⇒ v(x) = ex
Donc
Exercice 9
Calculer par intégration par parties l'intégrale suivante :
I = ∫ 1 2 2x3 ex2 - 2 dx
I = ∫ 1 2 x2 . 2x ex2 - 2 dx ∫ 1 2 x2 (x2 - 2) ' ex2 - 2 dx
On pose :
u(x) = x2 ⇒ u '(x) = 2x
et
v '(x) = (x2 - 2) ' ex2 - 2 ⇒ v(x) = ex2 - 2
Donc
Exercice 10
Calculer par double intégration par parties l'intégrale suivante :
I = ∫ 0 1 x2 ex dx
On pose :
u1(x) = x2 ⇒ u1 '(x) = 2x
et
v1 '(x) = ex ⇒ v1(x) = ex
Donc
Pour calculer l'intégrale ∫ 0 1 x ex dx, procédons encore par intégration par partie. On pose :
u2(x) = x ⇒ u2 '(x) = 1
et
v2 '(x) = ex ⇒ v2(x) = ex
Donc
Exercice 11
Calculer par intégration par parties l'intégrale suivante :
I = ∫ 1 2 (x + 1) ln(x) dx
On pose :
u(x) = ln(x) ⇒ u '(x) = 1 x
et
v '(x) = x + 1 ⇒ v(x) = 1 2 x2 + x
Donc
Exercice 12
Calculer par intégration par parties l'intégrale suivante :
I = ∫ 1 2 ln(x) dx
On pose :
u(x) = ln(x) ⇒ u '(x) = 1 x
et
v '(x) = 1 ⇒ v(x) = x
Donc