البكالوريا دراسة الدالة الأسية الطبيعية

النهايات الاعتيادية

النهايات في -∞

lim x→-∞ e^x = 0

lim x→-∞ xⁿ e^x = 0 (n ∈ ℕ^*)

النهايات في +∞

lim x→+∞ e^x = +∞

lim x→+∞ e^x / xⁿ = +∞ (n ∈ ℕ^*)

النهايات في 0

lim x→0 e^x - 1 / x = 1

ملحوظة. هذه النهاية هي ببساطة مشتقة الدالة الأسية في 0.

مثال مع تغيير المتغيّر

lim x→0 x e^1/x

النتيجة مختلفة عن يمين و عن يسار 0.

lim x→0 x < 0 x e^1/x = 0

بالنسبة إلى النهاية على اليمين، لدينا صيغة غير محددة. يمكننا المتابعة عن طريق تغيير المتغيِّر. نضع

t = 1 / x

عندما تؤول x إلى 0 على اليمين، فإن t تؤول إلى +∞، لأن

lim x→0 x > 0 t = lim x→0 x > 0 1 / x = +∞

إذن

lim x→0 x > 0 x e^1/x = lim t→+∞ e^t / t = +∞

الدالة المشتقة للدالة الأسية الطبيعية هي الدالة الأسية الطبيعية نفسها :

(e^x) ' = e^x

تذكَّر أيضًا أن مشتقة دالة على الشكل e^u(x) هي :

(e^u(x)) ' = u '(x) . e^u(x)

مثال

لنحسب مشتقة الدالة f المعرَّفة بـ

f(x) = e^{x² + 2x + 2}

f '(x) = (x² + 2x + 2) ' e^{x² + 2x + 2} = (2x + 2) e^{x² + 2x + 2}

لقد رأينا النهاية في -∞

lim x→-∞ e^x = 0

يقبل مبيان الدالة الأسية الطبيعية فرعا شلجميا أفقيا معادلته y = 0 (محور الأفاصيل).

فيما يتعلق بالنهايات بجوار +∞

lim x→+∞ e^x = +∞

lim x→+∞ e^x / x = +∞

يقبل مبيان دالة اللوغاريتم الطبيعي بجوار +∞ فرعا شلجميا اتجاهه محور الأراتيب.

فيما يلي جدول التغيرات للدالة الأسية الطبيعية :

$دراسة الدالة الأسية الطبيعية$

فيما يلي التمثيل المبياني للدالة الأسية الطبيعية :

$التمثيل المبياني للدالة الأسية الطبيعية$