البكالوريا تمارين دراسة الدالة الأسية

راجع الدرس دراسة الدالة الأسية الطبيعية

تمرين 1

دراسة الدالة f المعرَّفة على ℝ ب :

f(x) = x + e^-x

1. احسب النهايات في -∞ و +∞ ل f(x).
2. احسب f '(x).
3. ادرس إشارة f '(x) و أنشئ جدول التغيرات للدالة
4. احسب f "(x). استنتج أن مبيان الدالة Cf محدَّب على المجموعة ℝ.
5. احسب النهاية في +∞ ل f(x) / x . استنتج.
6. احسب النهاية في +∞ ل (f(x) - x). استنتج.
7. ارسم المبيان Cf.

تصحيح

1 - النهايات في -∞ و +∞ ل f(x)

lim x→-∞ f(x) = lim x→-∞ (x + e^-x) = lim x→-∞ (x(1 - e^-x / -x )) = +∞

lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ (x + e^-x) = +∞

2 - حساب f '(x)

f '(x) = 1 - e^-x

3 - إشارة f '(x) و جدول التغيرات

f '(x) > 0 ⇒ 1 - e^-x > 0 ⇒ 1 > e^-x ⇒ x > 0

جدول التغيرات كما يلي :

4 - حساب f "(x)

f "(x) = e^-x

∀ x ∈ ℝ, f " (x) > 0.

إذن، مبيان الدالة Cf محدَّب على المجموعة ℝ.

5 - الفروع اللانهائية في -∞

lim x→-∞ f(x) / x = lim x→-∞ (1 - e^-x / -x ) = -∞

يقبل مبيان الدالة بجوار -∞ فرعا شلجميا اتجاهه محور الأراتيب.

6 - الفروع اللانهائية في +∞

lim x→+∞ (f(x) - x) = lim x→+∞ e^-x = 0

يقبل المبيان Cf مقاربا مائلا بجوار +∞ معادلته y = x.

7 - مبيان Cf

تمرين 2

دراسة الدالة f المعرَّفة على ℝ par :

f(x) = x e^1/x (x ≠ 0)

f(0) = 0

1. احسب النهايات في 0 ل f(x). استنتج.
2. احسب النهاية في -∞ ل f(x). احسب النهاية في -∞ ل "f(x) - x". استنتج.
3. احسب النهاية في +∞ ل f(x). احسب النهاية في +∞ ل "f(x) - x". استنتج.
4. ادرس قابلية الاشتقاق ل f على يسار 0. أوجد معادلة المماس للمبيان Cf عند نقطة الإحداثي السيني 0.
5. احسب f '(x).
6. ادرس إشارة f '(x) و أنشئ جدول التغيرات للدالة
7. احسب f "(x).
8. ادرس إشارة f "(x). استنتج تحدب و تقعر مبيان الدالة Cf.
9. ارسم المبيان Cf.

تصحيح

1 - النهايات في 0

lim x→0 x < 0 f(x) = lim x→0 x > 0 (x e^1/x) = 0

النهاية على يسار 0 ل f(x) تساوي f(0). إذن، f متصلة على يسار 0.

lim x→0 x > 0 f(x) = lim x→0 x > 0 (x e^1/x) = lim x→0 x > 0 e^1/x / 1/x = +∞

يقبل المبيان Cf مقاربا عموديا معادلته x = 0.

2 - النهايات في -∞ ل f(x)

lim x→-∞ f(x) = lim x→-∞ (x e^1/x) = -∞

lim x→-∞ (f(x) - x) = lim x→-∞ x (e^1/x - 1)

نضع

t = 1 / x

عندما تؤول x إلى -∞، فإن t تؤول إلى يسار 0 ، لأن

lim x→-∞ t = lim x→-∞ 1 / x = 0^-

إذن

lim x→-∞ x (e^1/x - 1) = lim t→0 t < 0 e^t - 1 / t = 1

يقبل المبيان Cf مقاربا مائلا معادلته y = x + 1 بجوار -∞.

3 - النهايات في +∞ ل f(x)

lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ (x e^1/x) = +∞

lim x→+∞ (f(x) - x) = lim x→+ x (e^1/x - 1)

نضع

t = 1 / x

عندما تؤول x إلى -∞، فإن t تؤول إلى يمين 0 ، لأن

lim x→+∞ t = lim x→+∞ 1 / x = 0⁺

إذن

lim x→+∞ x (e^1/x - 1) = lim t→0 t > 0 e^t - 1 / t = 1

يقبل المبيان Cf مقاربا مائلا معادلته y = x + 1 بجوار +∞.

4 - قابلية الاشتقاق ل f على يسار 0

lim x→0 x < 0 f(x) - f(0) / x - 0 = lim x→0 x < 0 e^1/x = 0

الدالة f قابلة للاشتقاق على يسار 0. معادلة المماس للمبيان Cf عند نقطة الإحداثي السيني 0 :

y = 0

5 - حساب f '(x)

6 - إشارة f '(x) و جدول التغيرات

جدول الإشارة ل f '(x) :

جدول التغيرات كما يلي :

7 - حساب f "(x)

8 - إشارة f "(x) و التقعر و التحدب

f "(x) > 0 ⇔ x > 0

جدول التقعر و التحدب 

9 - مبيان Cf

<< 4. البكالوريا تمارين نهايات الدالة الأسية

6. البكالوريا الدالة الأسية للأساس a >>