البكالوريا تمارين دراسة الدوال

راجع الدرس دراسة الدوال

تمرين 1

لنعتبر الدالة العددية f المعرفة كما يلي: :

f(x) = 1 / 3 x³ - x² - 3x + 3

1. احسب النهاية في -∞ و +∞ ل f(x).
2. احسب f '(x).
3. ادرس إشارة f '(x) وأنشئ جدول التغيرات
4. احسب f "(x).
5. ادرس إشارة f "(x). استنتج أن النقطة I(1, -2 / 3 ) هي نقطة انعطاف لمبيان الدالة Cf.
6. احسب f '(1). أوجد معادلة المماس للمبيان Cf عند نقطة الإحداثي السيني 1.
7. بين أن النقطة I(1, -2 / 3 ) هي مركز تماثل للمبيان Cf.
8. ارسم المبيان Cf.

تصحيح

1 - النهاية في -∞ و +∞ ل f(x)

lim x→-∞ f(x) = lim x→-∞ 1 / 3 x³ = -∞
lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 1 / 3 x³ = +∞

2 - حساب f '(x)

f '(x) = x² - 2x - 3

3 - إشارة f '(x) و جدول التغيرات

لإيجاد النقط حيث تنعدم كثيرة الحدود "x² - 2x - 3"، نحسب المميز

Δ = 16.

نحسب نقط انعدام كثيرة الحدود "x² - 2x - 3"

x₁ = -1
x₂ = 3

جدول التغيرات كما يلي :

4 - حساب f "(x)

f "(x) = 2x - 2

5 - إشارة f "(x) و نقطة الإنعطاف

النقطة I(1, -2 / 3 ) هي نقطة انعطاف للمبيان Cf لأن f "(x) تنعدم في 1 مع تغيير الإشارة.

6 - حساب f '(1)

f '(1) = -4

معادلة المماس للمبيان Cf عند نقطة الإحداثي السيني 1

y = f '(1) (x - 1) + f(1) = -4x + 10 / 3

7 - نبين أن النقطة I(1, -2 / 3 ) هي مركز تماثل للمبيان Cf.

8 - المبيان Cf

تمرين 2

لنعتبر الدالة العددية g المعرفة كما يلي: :

g(x) = 2x² + x - 2 / 2x + 3

1. حدد مجال تعريف الدالة Dg.
2. احسب النهايات ل g(x) عند حدود Dg. استنتج أن مبيان للدالة Dg يقبل مقارب عمودي.
3. احسب g '(x).
4. ادرس إشارة g '(x) وأنشئ جدول التغيرات
5. بين أن المستقيم ذي المعادلة y=x-1 هو مقارب للمبيان Cg.
6. ارسم المبيان Cg.

تصحيح

1 - مجال تعريف g

2x + 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ -3 / 2

إذن

Dg = ]-∞; -3 / 2 [∪] -3 / 2 ;+∞[

2 - النهايات عند حدود Dg

يقبل المبيان Dg مقاربا مائلا معادلته x= -3 / 2 .

3 - حساب g '(x)

4 - إشارة g '(x) وجدول التغيرات

لإيجاد النقط حيث تنعدم كثيرة الحدود "4x² + 12x + 7"، نحسب المميز

Δ = 144-4.4.7 = 32.

نحسب نقط انعدام كثيرة الحدود "4x² + 12x + 7"

x₁ = -3 - √2 / 2
x₂ = -3 + √2 / 2

جدول التغيرات كما يلي :

5 - لنبين أن المستقيم ذي المعادلة y=x-1 هو مقارب للمبيان Cg

نحسب g(x)-y.

6 - المبيان Cg

تمرين 3

لنعتبر الدالة العددية f المعرفة كما يلي: :

f(x) = x √x² + 1

1. احسب النهاية في -∞ و +∞ ل f(x).
2. احسب f '(x).
3. ادرس إشارة f '(x) وأنشئ جدول التغيرات
4. احسب f "(x).
5. ادرس إشارة f "(x). استنتج أن النقطة I(0,0) هي نقطة انعطاف لمبيان الدالة Cf.
6. احسب f '(0). أوجد معادلة المماس للمبيان Cf عند نقطة الإحداثي السيني 0.
7. بين أن النقطة I(0,0) هي مركز تماثل للمبيان Cf.
8. احسب النهاية في -∞ و +∞ ل f(x) / x . استنتج.
9. ارسم المبيان Cf.

تصحيح

1 - النهاية في -∞ و +∞ ل f(x)

lim x→-∞ f(x) = -∞
lim x→+∞ f(x) = +∞

2 - حساب f '(x)

3 - إشارة f '(x) و جدول التغيرات

f '(x) دائما موجبة. جدول التغيرات كما يلي :

4 - حساب f "(x)

5 - إشارة f "(x) و نقطة الإنعطاف

f "(x) تنعدم في النقطة 0 مع تغيير الإشارة. النقطة I(0,0) هي نقطة انعطاف للمبيان Cf.

6 - حساب de f '(0)

f '(0) = 1

معادلة المماس للمبيان Cf عند نقطة الإحداثي السيني 0

y = f '(0) (x - 0) + f(0) = x

7 - لنبين أن النقطة I(0,0) هي مركز تماثل للمبيان Cf.

8 - الفروع اللانهائية

lim x→-∞ f(x) / x = lim x→-∞ √x² + 1 = +∞
lim x→+∞ f(x) / x = lim x→+∞ √x² + 1 = +∞

يقبل المبيان Cf فرعا شلجميا بجوار -∞ و +∞ اتجاهه محور الأراتيب.

9 - المبيان Cf

<< 5. البكالوريا دراسة الدوال

7. البكالوريا نهايات المتتاليات >>