البكالوريا نهايات المتتاليات
تذكير
المتتاليات الحسابية
تكون (un) متتالية حسابية إذا كان يوجد عدد حقيقي r، بحيث يكون لكل عدد طبيعي n
un+1 = un + r
العدد الحقيقي r يسمى أساس المتتالية (un).
صيغة un بدلالة n هي
un = u0 + nr
مجموع الحدود
Sn = u0 + u1 + u2 + ...... + un = (n + 1) u0 + un 2 = (n + 1) 2u0 + nr 2
مثال
(un) هي متتالية معرفة ب
u0 = 3 un+1 = un + 2
أستنتح صيغة un بدلالة n و مجموع الحدود
un = 3 + 2r Sn = u0 + u1 + u2 + ...... + un = (n + 1) 2 . 3 + n . 2 2 = (n + 1)(n + 3)
المتتاليات الهندسية
تكون (un) متتالية هندسية إذا كان يوجد عدد حقيقي q، بحيث يكون لكل عدد طبيعي n
un+1 = qun
العدد الحقيقي q يسمى أساس المتتالية (un).
صيغة un بدلالة n هي
un = u0 qr
مجموع الحدود في حالة q ≠ 1
Sn = u0 + u1 + u2 + ...... + un = u0(1 + q + q2 + ...... + qn) = u0 1 - qn+1 1 - q
مثال
(un) هي متتالية معرفة ب
u0 = 3 un+1 = 2un
أستنتح صيغة un بدلالة n و مجموع الحدود
un = 3 (2)r Sn = u0 + u1 + u2 + ...... + un = 3 1 - 2n+1 1 - 2 = 3 (2n+1 - 1)
متتالية مكبورة - متتالية مصغورة
تكون (un) متتالية مكبورة إذا كان يوجد عدد حقيقي M، بحيث يكون لكل عدد طبيعي n
un < M
تكون (un) متتالية مصغورة إذا كان يوجد عدد حقيقي m، بحيث يكون لكل عدد طبيعي n
un > m
وكثيرًا ما نثبت ذلك من خلال البرهان عن طريق الاستقراء. إذن قبل إعطاء مثال على المتتاليات المكبورة أو المصغورة، سنذكر بالبرهان بالاستقراء.
البرهان عن طريق الاستقراء
لإثبات أن الفرضية (Pn) صحيحة لأي عدد طبيعي n بدءا بالعدد الطبيعي n0، يكفي
- التأكد من صحة الفرضية بالنسبة للحد الأول n0
- الافتراض أن الفرضية صحيحة بالنسبة لعدد طبيعي n وإثبات أنها في هذه الحالة تكون صحيحة بالنسبة للعدد الصحيح التالي، أي لـ n+1
بعبارة أخرى
- التأكد أن Pn0 صحيحة
- إثبات (Pn صحيحة) ⇒ (Pn+1 صحيحة)
مثال
(un) هي متتالية معرفة ب
u0 = 5 un+1 = 1 2 un + 3 2
أثبت بالاستقراء أن (un) مصغورة ب 3.
أتأكد أن الفرضية صحيحة بالنسبة للحد الأول 0
u0 = 5 > 3
أفترض أن الفرضية صحيحة بالنسبة لعدد طبيعي n وأثبت أنها صحيحة بالنسبة للعدد الصحيح التالي، أي لـ n+1.
رتابة متتالية عددية
تكون متتالية عددية (un) تزايدية إذا كان لكل عدد طبيعي n
un+1 - un > 0
تكون متتالية عددية (un) تناقصية إذا كان لكل عدد طبيعي n
un+1 - un < 0
إذا كانت متتالية تزايدية فإنها مصغورة بحدها الأول.
إذا كانت متتالية تناقصية فإنها مكبورة بحدها الأول.
مثال
لنرجع لمثال المتتالية العددية (un) المعرفة ب
u0 = 5 un+1 = 1 2 un + 3 2
قمنا ببرهنة أن (un) مصغورة ب 3.
لنبرهن أن (un) تناقصية.
وحيث أن (un) مصغورة ب 3
un > 3 ⇒ 3 - un < 0
إذا لكل عدد طبيعي n
un+1 - un < 0
إذن (un) تناقصية.
نستنتج أن (un) مكبورة ب u0 = 5
متتالية متقاربة أو متباعدة
تكون متتالية عددية (un) متقاربة إذا كانت لها نهاية منتهية.
lim n→+∞ un = l (l عدد منتهي).
تكون متتالية عددية (un) متباعدة إن لم تكن متقاربة.
كل متتالية تزايدية و مكبورة فهي متقاربة.
كل متتالية تناقصية و مصغورة فهي متقاربة.
نهاية متتالية مرتبطة بدالة
لتكن f دالة عددية معرفة على [0;+∞[ و (un) متتالية عددية معرفة ب :
un = f(n).
إذن
lim n→+∞ un = lim n→+∞ f(x)
هذا يعني أنه يمكنك حساب نهاية متتالية (un) المحددة بدلالة n باتباع نفس القواعد المطبقة على نهايات الدوال عند اللانهاية.
مثال
لنأخذ كمثال المتتالية (un) المعرفة ب
un = n + 1 n2 + 2
نهاية (un) هي
نهاية متتالية هندسية
نهاية qn (مع q ≠ 0) كما يلي :
| q | lim n→+∞ (q)n |
|---|---|
| -1 < q < 1 | 0 |
| 1 | 1 |
| q > 1 | +∞ |
| q < -1 | لا توجد نهاية |
مثال
لنرجع لمثال المتتالية العددية (un) المعرفة ب
u0 = 5 un+1 = 1 2 un + 3 2
قمنا ببرهنة أن (un) مصغورة ب 3 وأن (un) تناقصية. إذن (un) متقاربة.
لحساب نهاية (un) نحتاج صيغتها بدلالة n. وللحصول على هذه الصيغة نتبع الطريقة التالية: (تمرين نموذجي للبكالوريا).
لنأخذ المتتالية (vn) المعرفة ب :
vn = un - 3
- احسب v0.
- بين أن (vn) متتالية هندسية أساسها 1 2 .
- حدد صيغة (vn) بدلالة n
- حدد صيغة (un) بدلالة n
- احسب نهاية (un).
1 - حساب v0
v0 = u0 - 3 = 5 - 3 = 2
2 - لنبين أن (vn) متتالية هندسية أساسها 1 2
إذن (vn) متتالية هندسية أساسها 1 2
3 - صيغة (vn) بدلالة n
(vn) متتالية هندسية أساسها 1 2 . إذن
vn = v0 ( 1 2 )n = 2 ( 1 2 )n
4 - صيغة (un) بدلالة n
un = vn + 3 = 2 ( 1 2 )n + 3
5 - نهاية (un)
نهاية متتالية هندسية qn حيث q محصورة بين -1 و 1 تساوي 0. إذن
lim n→+∞ un = lim n→+∞ (2 ( 1 2 )n + 3) = 3
مبرهنة الحصر
مبرهنة
(un) و (vn) و (wn) متتاليات عددية. إذا كان بعد حد معين
vn < un < wn
و
lim n→+∞ vn = lim n→+∞ wn = l
فإن (un) متقاربة و
lim n→+∞ un = l
مبرهنة
(un) و (vn) متتاليات عددية. إذا كان بعد حد معين
un < vn
و
lim n→+∞ vn = -∞
فإن
lim n→+∞ un = -∞
و إذا كان بعد حد معين
un > vn
و
lim n→+∞ vn = +∞
فإن
lim n→+∞ un = +∞
مبرهنة
(un) و (vn) متتاليات عددية و l عدد حقيقي. إذا كان بعد حد معين
| un - l | < vn
و
lim n→+∞ vn = 0
فإن، (un) متقاربة و
lim n→+∞ un = l
مثال
لنحسب على سبيل المثال نهاية المتتالية العددية (un) المعرفة ب
un = (-1)n n2 + 2
حيث أن (-1)n ليست لها نهاية (حالة متتالية هندسية مع q≤-1). إلا أنه
-1 ≤ (-1)n ≤ 1
إذن
-1 n2 + 2 ≤ (-1)n n2 + 2 ≤ 1 n2 + 2
و
lim n→+∞ -1 n2 + 2 = lim n→+∞ 1 n2 + 2 = 0
حسب مبرهنة الحصر
lim n→+∞ (-1)n n2 + 2 = 0