البكالوريا تمارين نهايات المتتاليات

راجع الدرس نهايات المتتاليات

تمرين 1

لنعتبر المتتالية العددية (u_n) المعرفة ب :

u₀ = -1
u_n+1 = 1 / 3 u_n - 4 / 3

1. أثبت بالاستقراء أن u_n مصغورة ب -2.
2. أثبت أن (u_n) تناقصية. استنتج أن (u_n) متقاربة.

لنعتبر المتتالية (v_n) المعرفة ب :

v_n = u_n + 2

3. احسب v₀.
4. أثبت أن (v_n) متتالية هندسية أساسها 1 / 3 .
5. حدد صيغة (v_n) بدلالة n
6. حدد صيغة (u_n) بدلالة n
7. احسب نهاية (u_n).

تصحيح

1 - أثبت بالاستقراء أن u_n مصغورة ب 2-.

أتأكد أن الفرضية صحيحة بالنسبة للحد الأول 0

u₀ = -1 > -2

أفترض أن الفرضية صحيحة بالنسبة لعدد طبيعي n وأثبت أنها صحيحة بالنسبة للعدد الصحيح التالي، أي لـ n+1.

2 - لنبرهن أن (u_n) تناقصية.

حيث أن (u_n) مصغورة ب 2-

u_n > -2 ⇒ u_n + 2 > 0

إذن لكل عدد طبيعي n

u_n+1 - u_n < 0

إذن (u_n) تناقصية.

حيث أن (u_n) مصغورة ب 2-. إذن (u_n) متقاربة.

3 - حساب v₀

v₀ = u₀ + 2 = -1 + 2 = 1

4 - لنبين أن (v_n) متتالية هندسية أساسها 1 / 3

إذن (v_n) متتالية هندسية أساسها 1 / 3

5 - صيغة (v_n) بدلالة n

(v_n) متتالية هندسية أساسها 1 / 3 . إذن

v_n = v₀ ( 1 / 3 )ⁿ = ( 1 / 3 )ⁿ

6 - صيغة (u_n) بدلالة n

u_n = v_n - 2 = ( 1 / 3 )ⁿ - 2

7 - نهاية (u_n)

نهاية متتالية هندسية qⁿ حيث q محصورة بين 1- و 1 تساوي 0. إذن

lim n→+∞ u_n = lim n→+∞ (( 1 / 3 )ⁿ - 2) = -2

تمرين 2

لنعتبر المتتالية العددية (u_n) المعرفة ب :

u₀ = 1
u_n+1 = 8 u_n / 3 u_n + 2

1. أثبت بالاستقراء أن u_n مصغورة ب 0.
2. أثبت أن u_n+1 = 8 / 3 - 16 / 9 u_n + 6 .
3. أثبت بالاستقراء أن u_n مكبورة ب 2.
4. أثبت أن (u_n) تزايدية. استنتج أن (u_n) متقاربة.

لنعتبر المتتالية (v_n) المعرفة ب :

v_n = 2 - u_n / u_n

5. احسب v₀.
6. أثبت أن (v_n) متتالية هندسية أساسها 1 / 4 .
7. حدد صيغة (v_n) بدلالة n
8. حدد صيغة (u_n) بدلالة n
9. احسب نهاية (u_n).

تصحيح

1 - أثبت بالاستقراء أن u_n مصغورة ب 0.

أتأكد أن الفرضية صحيحة بالنسبة للحد الأول 0

u₀ = 1 > 0

أفترض أن الفرضية صحيحة بالنسبة لعدد طبيعي n وأثبت أنها صحيحة بالنسبة للعدد الصحيح التالي، أي لـ n+1.

2 - لنبين أن u_n+1 = 8 / 3 - 16 / 9 u_n + 6 .

3 - أثبت بالاستقراء أن u_n مكبورة ب 2.

أتأكد أن الفرضية صحيحة بالنسبة للحد الأول 0

u₀ = 1 < 2

أفترض أن الفرضية صحيحة بالنسبة لعدد طبيعي n وأثبت أنها صحيحة بالنسبة للعدد الصحيح التالي، أي لـ n+1.

4 - لنبرهن أن (u_n) تزايدية.

حيث أن (u_n) مكبورة ب 2

u_n < 2 ⇒ u_n - 2 < 0 ⇒ 2 - u_n > 0

و (u_n) مصغورة ب 0

u_n > 0 ⇒ 3 u_n > 0 ⇒ 3 u_n + 2 > 0

إذن لكل عدد طبيعي n

u_n+1 - u_n > 0

إذن (u_n) تزايدية.

حيث أن (u_n) مكبورة ب 2. إذن (u_n) متقاربة.

5 - حساب v₀

v₀ = 2 - u₀ / u₀ = 2 - 1 /  1  = 1

6 - لنبين أن (v_n) متتالية هندسية أساسها 1 / 4

إذن (v_n) متتالية هندسية أساسها 1 / 4

7 - صيغة (v_n) بدلالة n

(v_n) متتالية هندسية أساسها 1 / 4 . إذن

v_n = v₀ ( 1 / 4 )ⁿ = ( 1 / 4 )ⁿ

8 - صيغة (u_n) بدلالة n

9 - نهاية (u_n)

نهاية متتالية هندسية qⁿ حيث q محصورة بين 1- و 1 تساوي 0. إذن

lim n→+∞ u_n = 2

تمرين 3

لنعتبر المتتالية العددية (u_n) المعرفة ب :

u₀ = 3 / 2
u_n+1 = 5 u_n - 4 / 2 u_n - 1

1. أثبت أن u_n+1 = 5 / 2 - 3 / 4 u_n - 2 .
2. أثبت بالاستقراء أن u_n مصغورة ب 1.
3. أثبت بالاستقراء أن u_n مكبورة ب 2.
4. أثبت أن (u_n) تزايدية. استنتج أن (u_n) متقاربة.

لنعتبر المتتالية (v_n) المعرفة ب :

v_n = u_n - 2 / -u_n + 1

5. احسب v₀.
6. أثبت أن (v_n) متتالية هندسية أساسها 1 / 3 .
7. حدد صيغة (v_n) بدلالة n
8. حدد صيغة (u_n) بدلالة n
9. احسب نهاية (u_n).

تصحيح

1 - لنبين أن u_n+1 = 5 / 2 - 3 / 4 u_n - 2 .

2 - أثبت بالاستقراء أن u_n مصغورة ب 1.

أتأكد أن الفرضية صحيحة بالنسبة للحد الأول 0

u₀ = 3 / 2 > 1

أفترض أن الفرضية صحيحة بالنسبة لعدد طبيعي n وأثبت أنها صحيحة بالنسبة للعدد الصحيح التالي، أي لـ n+1.

3 - أثبت بالاستقراء أن u_n مكبورة ب 2.

أتأكد أن الفرضية صحيحة بالنسبة للحد الأول 0

u₀ = 3 / 2 < 2

أفترض أن الفرضية صحيحة بالنسبة لعدد طبيعي n وأثبت أنها صحيحة بالنسبة للعدد الصحيح التالي، أي لـ n+1.

4 - لنبرهن أن (u_n) تزايدية.

لدينا متعددة الحدود من الدرجة 2، "x² - 3x + 2". لنحسب المميز

Δ = 1

نحسب النقاط حيث تنعدم الدالة "x² - 3x + 2"

x₁ = 1
x₂ = 2

إذن لكل x محصور بين 1 و 2

x² - 3x + 2 < 0.

حيث أن (u_n) محصورة بين 1 و 2. إذن لكل عدد طبيعي n

u_n+1 - u_n > 0

إذن (u_n) تزايدية.

حيث أن (u_n) مكبورة ب 2. إذن (u_n) متقاربة.

5 - حساب v₀

v₀ = u₀ - 2 / -u₀ + 1 = 1

6 - لنبين أن (v_n) متتالية هندسية أساسها 1 / 3

إذن (v_n) متتالية هندسية أساسها 1 / 3

7 - صيغة (v_n) بدلالة n

(v_n) متتالية هندسية أساسها 1 / 3 . إذن

v_n = v₀ ( 1 / 3 )ⁿ = ( 1 / 3 )ⁿ

8 - صيغة (u_n) بدلالة n

9 - نهاية (u_n)

نهاية متتالية هندسية qⁿ حيث q محصورة بين 1- و 1 تساوي 0. إذن

lim n→+∞ u_n = 2

تمرين 4

لنعتبر المتتالية العددية (u_n) المعرفة ب :

u₀ = 0
u_n+1 = 2 u_n + 1 / -u_n + 4

1. أثبت أن u_n+1 = -2 + 9 / -u_n + 4 .
2. أثبت بالاستقراء أن u_n مكبورة ب 1.
3. أثبت أن (u_n) تزايدية. استنتج أن (u_n) متقاربة.

لنعتبر المتتالية (v_n) المعرفة ب :

v_n = u_n - 2 / u_n - 1

4. احسب v₀.
5. أثبت أن (v_n) متتالية حسابية أساسها 1 / 3 .
6. حدد صيغة (v_n) بدلالة n
7. حدد صيغة (u_n) بدلالة n
8. احسب نهاية (u_n).

تصحيح

1 - لنبين أن u_n+1 = -2 + 9 / -u_n + 4 .

2 - أثبت بالاستقراء أن u_n مكبورة ب 1.

أتأكد أن الفرضية صحيحة بالنسبة للحد الأول 0

u₀ = 0 < 1

أفترض أن الفرضية صحيحة بالنسبة لعدد طبيعي n وأثبت أنها صحيحة بالنسبة للعدد الصحيح التالي، أي لـ n+1.

3 - لنبرهن أن (u_n) تزايدية.

حيث أن u_n مكبورة ب 1

u_n < 1

إذن

-u_n > -1

إذن

-u_n + 4 > 3 > 0

إذن لكل عدد طبيعي n

u_n+1 - u_n > 0

إذن (u_n) تزايدية.

حيث أن (u_n) مكبورة ب 2. إذن (u_n) متقاربة.

4 - حساب v₀

v₀ = u₀ - 2 / -u₀ + 1 = 2

5 - لنبين أن (v_n) متتالية حسابية أساسها 1 / 3

إذن (v_n) متتالية حسابية أساسها 1 / 3

6 - صيغة (v_n) بدلالة n

(v_n) متتالية حسابية أساسها 1 / 3 . إذن

v_n = v₀ + 1 / 3 n = 2 + n / 3

7 - صيغة (u_n) بدلالة n

8 - نهاية (u_n)

lim n→+∞ u_n = lim n→+∞ n / n + 3 = 1

<< 1. البكالوريا نهايات المتتاليات

3. البكالوريا خصائص اللوغاريتم الطبيعي >>