البكالوريا خصائص اللوغاريتم الطبيعي
تعريف
الدالة اللوغاريتمية الطبيعية، المشار إليها بـ ln، هي الدالة الأصلية للدالة المحددة ب f(x) = 1 x والتي تنعدم في 1.
مجال التعريف
الدالة اللوغاريتمية الطبيعية معرفة على ]0;+∞[.
وهذا يعني أن لوغاريتم عدد سالب غير ممكن ولوغاريتم 0 غير ممكن.
مثال
لنعتبر الدالة f المعرفة ب:
f(x) = ln(x2 - 4) + ln(x + 1)
f(x) ممكن إذا كان
x2 - 4 > 0
و
x + 1 > 0
مجال تعريف الدالة f هو Df = ]-1;2[.
تبعات أخرى
إذا كانت لديك معادلة أو متراجحة تتضمن دالة اللوغاريتم، فيجب عليك تحديد المجال (المجالات) حيث صيغة المعادلة غير ممكنة، وذلك من أجل استبعاد هذه المجالات من مجموعة الحلول.
نأخذ كمثال المتراجحة:
ln(x2 - 4) > ln(x + 1)
سنرى كيف نقوم بحل هذه المعادلات. لكن الهدف هنا هو تحديد أن أي حل لا ينتمي إلى المجال ]-1;2[ يجب استبعاده من مجموعة الحلول.
عدد أولر (Euler)
العدد ذو اللوغاريتم 1 يُشار إليه بـ e (ln(e) = 1) وهو عدد ثابت في الرياضيات يسمى رقم أولر. ويساوي تقريبا e ≃ 2,718.
خصائص
الدالة المشتقة للدالة اللوغاريتمية هي الدالة المعرفة ب f(x) = 1 x . إذن فالدالة اللوغاريتمية تصاعدية قطعا على المجال ]0;+∞[. و بالتالي
x = y ⇔ ln(x) = ln(y)
0 < x < y ⇔ ln(x) < ln(y)
إذن
x = 1 ⇔ ln(x) = 0
0 < x < 1 ⇔ ln(x) < 0
x > 1 ⇔ ln(x) > 0
سيتم تناول دراسة الدالة اللوغاريتمية الطبيعية بالتفصيل في الفصل التالي. نعرض هنا مبيانها.
خصائص أخرى
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(
1
x
) = -ln(x)
ln(
x
y
) = ln(x) - ln(y)
ln(xn) = n ln(x)
ln(√x) =
1
2
ln(x)
أمثلة
قم بتبسيط الصيغة
ln(27) + 4 ln(16) - 3 ln(48)
حل المعادلة
ln(x + 1) = ln(4 - x)
المعادلة معرفة إذا كان
x + 1 > 0 ⇒ x > -1
et
4 - x > 0 ⇒ x < 4
المعادلة معرفة على ]-1;4[.
و حيث أن
3 2 ∈ ]-1;4[
مجموعة الحلول للمعادلة هي S = { 3 2 }.
تغيير المتغير
لنأخذ كمثال المعادلة التالية
(ln(x))2 - 3ln(x) + 2 = 0
المعادلة معرفة إذا كان
x > 0
المعادلة معرفة على ]0;+∞[.
إذا وضعنا t = ln(x) تصبح المعادلة
t2 - 3t + 2 = 0
وبذلك تصبح لدينا معادلة ذات متعددة الحدود من الدرجة الثانية ، و حلاها
t1 = 1
و
t2 = 2
إذن
ln(x1) = 1 ⇒ x1 = e
و
ln(x2) = 2 ⇒ x2 = e2
مجموعة الحلول للمعادلة هي S = {e,e2}.
يعد استخدام تغيير المتغير مفيدًا بشكل خاص لحساب النهايات و كذلك الدوال الأصلية.