البكالوريا تمارين خصائص اللوغاريتم الطبيعي

راجع الدرس خصائص اللوغاريتم الطبيعي

تمرين 1

قم بتبسيط الصيغة بطريقتين مختلفتين

ln(16) + 2 ln(25) - 4 ln(10)

تصحيح

حل آخر

تمرين 2

قم بتبسيط الصيغة بطريقتين مختلفتين

ln(125) - 2 ln(10) + ln(8) + ln(0,1)

تصحيح

حل آخر

تمرين 3

قم بتبسيط الصيغة بطريقتين مختلفتين

3 ln(√5) + ln(0,4) - ln(√20)

تصحيح

حل آخر

تمرين 4

حدد مجال التعريف لكل من الدوال التالية

1. f(x) = ln(x + 5)
2. g(x) = ln(x + 2) - ln(3 - x)
3. h(x) = ln(x² - 3x + 2)

تصحيح

1 - الدالة f

x + 5 > 0 ⇒ x > -5

إذن

Df = ]-5;+∞[

2 - الدالة g

x + 5 > 0 ⇒ x > -2
و
3 - x > 0 ⇒ x < 3

إذن

Dg = ]-2;3[

3 - الدالة h

x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

إذن

x² - 3x + 2 > 0 ⇒ x < 1 ou x > 2

إذن

Dh = ]-∞;1[∪]2;+∞[

تمرين 5

حدد مجال التعريف لكل من الدوال التالية

1. f(x) = ln( x + 2 / x - 1 )
2. g(x) = ln(x + 2) / ln(x - 1)
3. h(x) = ln(x) + 2 / ln(x) - 1

تصحيح

1 - الدالة f

x + 2 / x - 1 > 0 ⇒ x < -2 ou x > 1
و
x - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

إذن

Df = ]-∞;-2[∪]1;+∞[

2 - الدالة g

x + 2 > 0 ⇒ x > -2
و
x - 1 > 0 ⇒ x > 1
و
ln(x - 1) ≠ 0 ⇒ x - 1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2

إذن

Dg = ]-1;2[∪]2;+∞[

3 - الدالة h

x > 0
و
ln(x) - 1 ≠ 0 ⇒ ln(x) ≠ 1 ⇒ x ≠ e

إذن

x² - 3x + 2 > 0 ⇒ x < 1 ou x > 2

إذن

Dh = ]0;e[∪]e;+∞[

تمرين 6

حدد مجال التعريف لكل من الدوال التالية

1. f(x) = ln(√x² + 3 - 2)
2. g(x) = ln(√x² - 1 + 2)
3. h(x) = ln(√x² - 1 - 2)

تصحيح

1 - الدالة f

إذن

Df = ]-∞;-1[∪]1;+∞[

2 - الدالة g

x² - 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ -1 ou x ≥ 1

إذن

Dg = ]-∞;-1]∪[1;+∞[

3 - الدالة h

x² - 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ -1 ou x ≥ 1

و

إذن

Dh = ]-∞;-√5[∪]√5;+∞[

تمرين 7

حل في ℝ المعادلات التالية

1. ln(x - 5) = ln(3)
2. ln(2x - 5) - ln(x + 2) = 0
3. ln(2x + 3) = 3

تصحيح

1 - المعادلة

ln(x - 5) = ln(3)

المعادلة معرفة إذا كان

x - 5 > 0 ⇒ x > 5

المعادلة معرفة على ]5;+∞[

و حيث أن

8 ∈ ]5;+∞[

مجموعة الحلول للمعادلة هي S = {8}

2 - المعادلة

ln(2x - 5) - ln(x + 2) = 0

المعادلة معرفة إذا كان

2x - 5 > 0 ⇒ x > 5 / 2
و
x + 2 > 0 ⇒ x > -2

المعادلة معرفة على ] 5 / 2 ;+∞[

و حيث أن

7 ∈ ] 5 / 2 ;+∞[

مجموعة الحلول للمعادلة هي S = {7}

3 - المعادلة

ln(2x + 3) = 3

المعادلة معرفة إذا كان

2x + 3 > 0 ⇒ x > -3 / 2

المعادلة معرفة على ] -3 / 2 ;+∞[

و حيث أن

e³ - 3 / 2 ∈ ] -3 / 2 ;+∞[

مجموعة الحلول للمعادلة هي S = { e³ - 3 / 2 }

تمرين 8

حل في ℝ المعادلات التالية

1. ln(2x - 5) - ln(x + 2) = 1
2. ln(2x - 3) - ln(3x + 2) = ln(x - 2) - ln(3x + 4)
3. ln(x - 3) + ln(x - 2) = ln(x² - 5x + 6)

تصحيح

1 - المعادلة

ln(2x - 5) - ln(x + 2) = 1

المعادلة معرفة إذا كان

2x - 5 > 0 ⇒ x > 5 / 2
و
x + 2 > 0 ⇒ x > -2

المعادلة معرفة على ] 5 / 2 ;+∞[

و حيث أن

5 + 2e / 2 - e ∉ ] 5 / 2 ;+∞[

مجموعة الحلول للمعادلة هي S = ∅

2 - المعادلة

ln(2x - 3) - ln(3x + 2) = ln(x - 2) - ln(3x + 4)

المعادلة معرفة إذا كان

2x - 3 > 0 ⇒ x > 3 / 2
و
3x + 2 > 0 ⇒ x > -2 / 3
و
x - 2 > 0 ⇒ x > 2
و
3x + 4 > 0 ⇒ x > -4 / 3

المعادلة معرفة على ]2;+∞[

لدينا معادلة من الدرجة التانية. المميز

Δ = 105

النقط حيث تنعدم كثيرة الحدود

x₁ = -3 - √105 / 6 ≃ -2,21
x₂ = -3 + √105 / 6 ≃ 1,21

و حيث أن

-3 - √105 / 6 ∉ ]2;+∞[
و
-3 + √105 / 6 ∉ ]2;+∞[

مجموعة الحلول للمعادلة هي S = ∅

3 - المعادلة

ln(x - 3) + ln(x - 2) = ln(x² - 5x + 6)

نلاحظ أن

x² - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)

إذن المعادلة صحيحة دائمًا في مجال تعريفها.

المعادلة معرفة إذا كان

x - 3 > 0 ⇒ x > 3
و
x - 2 > 0 ⇒ x > 2

المعادلة معرفة على ]3;+∞[

و مجموعة الحلول للمعادلة هي S = ]3;+∞[

تمرين 9

حل في ℝ المتراجحات التالية

1. ln(x - 5) > ln(3)
2. ln(2x - 5) - ln(x + 2) < 0
3. ln(2x + 3) > 3

تصحيح

1 - المتراجحة

ln(x - 5) > ln(3)

المتراجحة معرفة إذا كان

x - 5 > 0 ⇒ x > 5

المتراجحة معرفة على ]5;+∞[

مجموعة الحلول للمتراجحة هي S = ]5;+∞[∩]8;+∞[ = ]8;+∞[

2 - المتراجحة

ln(2x - 5) < ln(x + 2) = 0

المتراجحة معرفة إذا كان

2x - 5 > 0 ⇒ x > 5 / 2
و
x + 2 > 0 ⇒ x > -2

المتراجحة معرفة على ] 5 / 2 ;+∞[

مجموعة الحلول للمتراجحة هي S = ] 5 / 2 ;+∞[∩]-∞;7[ = ] 5 / 2 ;7[

3 - المتراجحة

ln(2x + 3) > 3

المتراجحة معرفة إذا كان

2x + 3 > 0 ⇒ x > -3 / 2

المتراجحة معرفة على ] -3 / 2 ;+∞[

مجموعة الحلول للمتراجحة هي S = ] -3 / 2 ;+∞[∩] e³ - 3 / 2 ;+∞[ = ] e³ - 3 / 2 ;+∞[

تمرين 10

حل في ℝ المتراجحات التالية

1. ln(2x - 5) - ln(x + 2) > 1
2. ln(2x - 3) - ln(3x + 2) > ln(x - 2) - ln(3x + 4)
3. ln(x - 2) + ln(2x - 1) < ln(x² - 5x + 6)

تصحيح

1 - المتراجحة

ln(2x - 5) - ln(x + 2) > 1

المتراجحة معرفة إذا كان

2x - 5 > 0 ⇒ x > 5 / 2
و
x + 2 > 0 ⇒ x > -2

المتراجحة معرفة على ] 5 / 2 ;+∞[

مجموعة الحلول للمتراجحة هي S = ] 5 / 2 ;+∞[∩] 5 + 2e / 2 - e ;+∞[ = ] 5 / 2 ;+∞[

2 - المتراجحة

ln(2x - 3) - ln(3x + 2) > ln(x - 2) - ln(3x + 4)

المتراجحة معرفة إذا كان

2x - 3 > 0 ⇒ x > 3 / 2
و
3x + 2 > 0 ⇒ x > -2 / 3
و
x - 2 > 0 ⇒ x > 2
و
3x + 4 > 0 ⇒ x > -4 / 3

المتراجحة معرفة على ]2;+∞[

لدينا متراجحة من الدرجة التانية. المميز

Δ = 105

النقط حيث تنعدم كثيرة الحدود

x₁ = -3 - √105 / 6 ≃ -2,21
x₂ = -3 + √105 / 6 ≃ 1,21

كثيرة الحدود موجبة إذا كان

x ∈ ]-∞; -3 - √105 / 6 [U] -3 + √105 / 6 ;+∞[

مجموعة الحلول للمتراجحة هي S = ]2;+∞[∩(]-∞; -3 - √105 / 6 [U] -3 + √105 / 6 ;+∞[) = ]2;+∞[

3 - المتراجحة

ln(x - 2) + ln(2x - 1) < ln(x² - 5x + 6)

نلاحظ أن

x² - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)

المتراجحة معرفة إذا كان

x - 2 > 0 ⇒ x > 2
و
2x - 1 > 0 ⇒ x > 1 / 2
و
(x - 3)(x - 2) > 0 ⇒ x < 2 ou x > 3

المتراجحة معرفة على ]3;+∞[

مجموعة الحلول للمتراجحة هي S = ]3;+∞[∩]-∞;-2[ = ∅

تمرين 11

حل في ℝ المعادلة التالية

(ln(x))² - ln(x²) - 3 = 0

تصحيح

المعادلة معرفة إذا كان

x > 0

المعادلة معرفة على ]0;+∞[

(ln(x))² - ln(x²) - 3 = 0 ⇔ (ln(x))² - 2ln(x) - 3 = 0

إذا وضعنا t = ln(x) تصبح المعادلة

t² - 2t - 3 = 0

وبذلك تصبح لدينا معادلة ذات متعددة الحدود من الدرجة الثانية ، و حلاها

t₁ = -1
و
t₂ = 3

إذن

ln(x₁) = -1 ⇒ x₁ = 1 / e
و
ln(x₂) = 3 ⇒ x₂ = e³

مجموعة الحلول للمعادلة هي S = { 1 / e ,e³}

<< 1. البكالوريا خصائص اللوغاريتم الطبيعي

3. البكالوريا دراسة الدالة اللوغاريتمية الطبيعية >>