البكالوريا دراسة الدالة اللوغاريتمية الطبيعية
النهايات الاعتيادية
النهايات على يمين 0
lim x→0 x > 0 ln(x) = -∞
lim x→0 x > 0 xn ln(x) = 0 (n ∈ ℕ*)
النهايات في +∞
lim x→+∞ ln(x) = +∞
lim x→+∞ ln(x) xn = 0 (n ∈ ℕ*)
النهايات في 1
lim x→1 ln(x) x - 1 = 1
ملحوظة. هذه النهاية هي ببساطة مشتقة دالة اللوغاريتم في 1.
هناك أيضًا متغير لهذه النهاية يمكن استنتاجه ببساطة عن طريق تغيير المتغير :
lim x→0 ln(x + 1) x = 1
مثال مع تغيير المتغيّر
lim x→-∞ ln(1 - x) 1 - x
نضع
t = 1 - x
علينا أولًا أن نعرف ما الذي تؤول إليه t عندما تؤول x إلى -∞. والإجابة هي أنّ t تؤول إلى +∞، لأن
lim x→-∞ t = lim x→-∞ (1 - x) = +∞
إذن
lim x→-∞ ln(1 - x) 1 - x = lim t→+∞ ln(t) t = 0
مثال آخر
رأينا أعلاه أن ∀n ∈ ℕ*
lim x→0 x > 0 xn ln(x) = 0
و ماذا عن
lim x→0 x > 0 √xln(x)
نضع
t = √x ⇔ x = t2
تؤول t إلى الصفر على اليمين عندما تؤول x إلى الصفر على اليمين. لأن
lim x→0 x > 0 t = lim x→0 x > 0 √x = 0+
إذن
lim x→0 x > 0 √xln(x) = lim t→0 t > 0 (t ln(t2)) = 2 lim t→0 t > 0 (t ln(t)) = 0
كذلك
رأينا أعلاه أن ∀n ∈ ℕ*
lim x→+∞ ln(x) xn = 0
و ماذا عن
lim x→+∞ ln(x) √x
نضع
t = √x ⇔ x = t2
تؤول t إلى +∞ عندما تؤول x إلى +∞. لأن
lim x→+∞ t = lim x→+∞ √x = 0+
إذن
lim x→+∞ ln(x) √x = lim t→+∞ ln(t2) t = 2 lim t→+∞ ln(t) t = 0
تمارين مصححة - نهايات الدالة اللوغاريتمية
مشتقة الدالة اللوغاريتمية الطبيعية
الدالة المشتقة لدالة اللوغاريتم الطبيعي هي الدالة المُعرَّفة على ]0;+∞[ ب
f(x) = 1 x
(ln(u(x))) ' = u '(x) u(x)
مثال
لنحسب مشتقة الدالة f المعرَّفة بـ
f(x) = ln(x2 + 2x + 2)
f '(x) = (x2 + 2x + 2) ' ln(x2 + 2x + 2) = 2x + 2 ln(x2 + 2x + 2)
الفروع اللانهائية
لقد رأينا النهاية على يمين 0lim x→0 x > 0 ln(x) = -∞
يقبل مبيان دالة اللوغاريتم الطبيعي فرعا شلجميا رأسيا معادلته x = 0 (محور الأراتيب).
فيما يتعلق بالنهايات بجوار +∞
lim x→+∞ ln(x) = +∞
lim x→+∞ ln(x) x = 0
يقبل مبيان دالة اللوغاريتم الطبيعي بجوار +∞ فرعا شلجميا اتجاهه محور الأفاصيل.
جدول التغيرات
فيما يلي جدول التغيرات لدالة اللوغاريتم الطبيعي :
التمثيل المبياني لدالة اللوغاريتم الطبيعي
التمثيل المبياني لدالة اللوغاريتم الطبيعي كما يلي :
