البكالوريا تمارين دراسة الدالة اللوغاريتمية

راجع الدرس دراسة الدالة اللوغاريتمية الطبيعية

تمرين 1

دراسة الدالة f المعرَّفة على ]0;+∞[ ب :

f(x) = ln(x) + 1 / x

1. احسب النهايات في 0 و +∞ ل f(x).
2. احسب f '(x).
3. ادرس إشارة f '(x) و أنشئ جدول التغيرات للدالة
4. احسب f "(x).
5. ادرس إشارة f "(x). استنتج أن النقطة I(2,ln(2+ 1 / 2 )) هي نقطة انعطاف لمبيان الدالة Cf.
6. احسب f '(2). أوجد معادلة المماس للمبيان Cf عند نقطة الإحداثي السيني 0.
7. احسب النهاية في +∞ ل f(x) / x . استنتج.
8. ارسم المبيان Cf.

تصحيح

1 - النهايات في 0 و +∞ ل f(x)

lim x→0 x > 0 f(x) = lim x→0 x > 0 (ln(x) + 1 / x ) = lim x→0 x > 0 ( 1 / x (xln(x) + 1)) = +∞

lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ (ln(x) + 1 / x ) = +∞

2 - حساب f '(x)

3 - إشارة f '(x) و جدول التغيرات

f '(x) > 0 ⇒ x - 1 > 0 ⇒ x > 1

جدول التغيرات كما يلي :

4 - حساب f "(x)

5 - إشارة f "(x) و نقطة الانعطاف

f "(x) > 0 ⇒ x - 2 > 0 ⇒ x > 2

f "(x) تنعدم في النقطة 2 مع تغيير الإشارة. النقطة I(2,ln(2+ 1 / 2 ) هي نقطة انعطاف لمبيان الدالة Cf.

6 - حساب f '(2)

f '(2) = 1 / 4

معادلة المماس للمبيان Cf عند نقطة الإحداثي السيني 2

y = f '(2) (x - 2) + f(2) = 1 / 4 x + ln(2)

7 - الفروع اللانهائية

lim x→+∞ f(x) / x = lim x→+∞ ln(x) / x + 1 / x² = 0

يقبل مبيان الدالة بجوار +∞ فرعا شلجميا اتجاهه محور الأفاصيل.

8 - مبيان Cf

تمرين 2

دراسة الدالة f المعرَّفة على [0;e[U]e;+∞[ ب :

f(x) = x / ln(x) - 1 (x ≠ 0)

f(0) = 0

1. احسب النهايات في 0 ل f(x). استنتج.
2. احسب النهايات في e ل f(x). استنتج.
3. احسب النهاية في +∞ ل f(x). احسب النهاية في +∞ ل f(x) / x . استنتج.
4. ادرس قابلية الاشتقاق ل f على يمين 0. أوجد معادلة المماس للمبيان Cf عند نقطة الإحداثي السيني 0.
5. احسب f '(x).
6. ادرس إشارة f '(x) و أنشئ جدول التغيرات للدالة
7. احسب f "(x).
8. ادرس إشارة f "(x). استنتج أن النقطة I(e³, e³ / 2 ) هي نقطة انعطاف لمبيان الدالة Cf.
9. احسب f '(2). أوجد معادلة المماس للمبيان Cf عند نقطة الإحداثي السيني 2.
10. ارسم المبيان Cf.

تصحيح

1 - النهاية عند 0

lim x→0 x > 0 f(x) = lim x→0 x > 0 x / ln(x) - 1 = 0

النهاية على يمين 0 ل f(x) تساوي f(0). إذن، الدالة f متصلة على يمين 0.

2 - النهاية عند e ل f(x)

lim x→e x < e f(x) = lim x→e x < e x / ln(x) - 1 = -∞

lim x→e x > e f(x) = lim x→e x > e x / ln(x) - 1 = +∞

يقبل مبيان الدالة f مقاربا عموديا معادلته x = e.

3 - النهاية عند +∞ ل f(x)

lim x→+∞ f(x) / x = lim x→+∞ 1 / ln(x) - 1 = 0

يقبل مبيان الدالة f فرعا شلجميا بجوار +∞ اتجاهه محور الأفاصيل.

4 - قابلية الاشتقاق ل f على يمين 0

lim x→0 x > 0 f(x) - f(0) / x - 0 = lim x→0 x > 0 1 / ln(x) - 1 = 0

الدالة f قابلة للاشتقاق على يمين النقطة 0. معادلة المماس لمبيان الدالة هي :

y = 0

5 - حساب f '(x)

6 - إشارة f '(x) و جدول التغيرات

f '(x) > 0 ⇒ ln(x) - 2 > 0 ⇒ ln(x) > 2 ⇒ x > e²

جدول التغيرات كما يلي :

7 - حساب f "(x)

8 - إشارة f "(x) و نقطة الانعطاف

f "(x) > 0 ⇒ -(ln(x))² + 4 ln(x) - 3 > 0

إذا وضعنا t = ln(x) تصبح المتراجحة

-t² + 4t - 3 > 0

لدينا إذن متراجحة تضم كثيرة الحدود من الدرجة الثانية . وهي تنعدم في

t₁ = 1
et
t₂ = 3

إذن

f "(x) > 0 ⇒ 1 < t < 3 ⇒ e < x < e³

جدول التقعر و التحدب للدالة 

f "(x) تنعدم عند النقطة e³ مع تغيير الإشارة. النقطة I(e³, e³ / 2 ) هي نقطة انعطاف لمبيان الدالة Cf.

9 - حساب f '(e³)

f '(e³) = ln(e³) - 2 / (ln(e³) - 1)² = 1 / 4

معادلة المماس لـ Cf عند النقطة 2

y = f '(e³) (x - e³) + f(e³) = 1 / 4 x + e³ / 4

10 - مبيان Cf

<< 4. البكالوريا تمارين نهايات الدالة اللوغاريتمية

6. البكالوريا اللوغاريتم للأساس a >>