البكالوريا خصائص الدالة الأسية الطبيعية

تعريف

الدالة الأسية الطبيعية exp(x) أو e^x، هي الدالة العكسية للوغاريتم الطبيعي.

مجال تعريف

الدالة الأسية الطبيعية معرفة على المجموعة ℝ.

إذن.

∀ x ∈ ℝ, ln(e^x) = x

∀ x ∈ ℝ^*+, e^ln(x) = x

مثال

e⁰ = e^ln(1) = 1

e¹ = e^ln(e) = e

الدالة الأسية الطبيعية موجبة قطعا على المجموعة ℝ.

الدالة الأسية الطبيعية تصاعدية قطعا على المجموعة ℝ. و بالتالي

x = y ⇔ e^x = e^y

x < y ⇔ e^x < e^y

سيتم تناول دراسة الدالة الأسية الطبيعية بالتفصيل في الفصل التالي. نعرض هنا مبيانها.

$مبيان الدالة الأسية$

e^x+y = e^x . e^y

e^-x = 1 / e^x

e^x-y = e^x / e^y

(e^x)ⁿ = e^nx

أمثلة

قم بتبسيط الصيغة

e^{4 ln(3)} + e^{3 ln(4)} - e^{2 ln(12)}

حل المعادلة

e^{x + 1} = e^{4 - x}

مجموعة الحلول للمعادلة هي S = { 3 / 2 }

لنأخذ كمثال المعادلة التالية

e^2x - 3 e^x + 2 = 0 ⇒ (e^x)² - 3 e^x + 2 = 0

إذا وضعنا t = e^x تصبح المعادلة

t² - 3t + 2 = 0

وبذلك تصبح لدينا معادلة ذات متعددة الحدود من الدرجة الثانية ، و حلاها

t₁ = 1
و
t₂ = 2

إذن

e^x₁ = 1 ⇒ x₁ = 0
و
e^x₂ = 2 ⇒ x₂ = ln(2)

مجموعة الحلول للمعادلة هي S = {0;ln(2)}.

يعد استخدام تغيير المتغير مفيدًا بشكل خاص لحساب النهايات و كذلك الدوال الأصلية.