Baccalauréat Calcul de Fonctions Primitives
Définition
Une fonction F est une primitive d'une fonction f si la fonction f est la fonction dérivée de la fonction F.
F '(x) = f(x)
Exemple
Soient les fonctions f, F1 et F2 définies par :
f(x) = 3x2 + 1
F1(x) = x3 + x
F2(x) = x3 + x + 2
La fonction f est la fonction dérivée de la fonction F1, elle est également la fonction dérivée de la fonction F2. Les fonctions F1 et F2 sont donc des primitives de la fonction f.
Propriété
Toute fonction continue a une infinité de fonctions primitives.
Somme d'une primitive et une constante
Si F est une fonction primitive d'une fonction f, alors toute fonction G définie par G(x) = F(x) + C (Avec C ∈ ℝ) est également une primitive de f.
Somme de deux primitives
Si F est une primitive de f et G une primitive de g, alors F + G est une primitive de f + g.
Exemple
Soit la fonction f définie par :
f(x) = 2x + 3x2
La fonction F suivante est une primitive de la fonction f
F(x) = x2 + x3
Multiplication d'une primitive par une constante
Si F est une primitive de f, alors k . F est une primitive de k . f.
Exemple
Soit la fonction f définie par :
f(x) = 4x = 2 . 2x
Une primitive de la fonction f est la fonction F définie par :
F(x) = 2 . x2
Primitives usuelles
| Fonction f(x) | Primitives F(x) |
|---|---|
| k (constante) | kx + C |
| xn (avec n ≠ -1) | xn+1 n + 1 + C |
| 1 x | ln|x| + C |
| 1 xn (avec n ≠ 1) | -1 (n - 1) xn-1 + C |
| 1 √x | 2 √x + C |
| ex | ex + C |
Formes usuelles
| Fonction f(x) | Primitives F(x) | Exemples | |
|---|---|---|---|
| Fonction f(x) | Primitives F(x) | ||
| u '(x) (u(x))n (avec n ≠ -1) | (u(x))n+1 n + 1 + C | (2x + 3) (x2 + 3x + 1)2 | (x2 + 3x + 1)3 3 + C |
| u '(x) u(x) | ln|u(x)| + C | 2x + 3 (x2 + 3x + 1) | ln|x2 + 3x + 1| + C |
| u '(x) (u(x))n (avec n ≠ 1) | -1 (n - 1) (u(x))n-1 + C | 2x + 3 (x2 + 3x + 1)3 | -1 2 (x2 + 3x + 1)2 + C |
| u '(x) √u(x) | 2 √u(x) + C | 2x + 3 √x2 + 3x + 1 | 2 √x2 + 3x + 1 + C |
| u '(x) eu(x) | eu(x) + C | (2x + 3) ex2 + 3x + 1 | ex2 + 3x + 1 + C |
Cas des fonctions polynomiales
Pour trouver une primitive d'une fonction polynomiale, il suffit de la décomposer en monomes et d'appliquer la règle : Primitive de xn est xn+1 n + 1 + C.
Exemple
Soit la fonction f définie par :
f(x) = 4x2 + 3x + 2
La fonction F suivante est une primitive de la fonction f
F(x) = 4 3 x3 + 3 2 x2 + 2x
Cas des fonctions rationnelles
Une technique très utilisée pour déterminer les primitives de fonctions rationnelles est en les décomposant en éléments simples ayant l'une des formes usuelles.
Exemple 1
Soit la fonction f définie par :
f(x) = 2 (x - 1)(x - 3)
Cette expression peut se décomposer en :
f(x) = a x - 1 + b x - 3
Déterminons a et b :
Donc
f(x) = -1 x - 1 + 1 x - 3
Primitive de la fonction f :
F(x) = -ln|x - 1| + ln|x - 3| + C
Exemple 2 - Cas avec un carré au dénominateur.
Soit la fonction f définie par :
f(x) = 3x - 2 (x - 2)2
Cette expression peut se décomposer en :
f(x) = a x - 2 + b (x - 2)2
Déterminons a et b :
Donc
f(x) = 3 x - 2 + 4 (x - 2)2
Primitive de la fonction f :
F(x) = 3 ln|x - 2| - 4 x - 2 + C
Exemple 3 - Cas avec degré du polynôme au numérateur supérieur à celui au dénominateur.
Soit la fonction f définie par :
f(x) = 2x2 - 7x - 2 x - 4
Cette expression peut se décomposer en :
f(x) = ax + b + c x - 4
Déterminons a, b et c :
Donc
f(x) = 2x + 1 + 2 x - 4
Primitive de la fonction f :
F(x) = x2 + x + 2 ln|x - 4| + C