Baccalauréat Exercices Calcul de Fonctions Primitives

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Exercice 1

Calculer les primitives des fonctions suivantes

1. f(x) = x³ + 3x + 5
2. g(x) = 3x³ + 2x² - 4x
3. h(x) = x⁴ - 5x³ - 2x + 3

Solution

1 - Primitives de la fonction f

f(x) = x³ + 3x + 5

F(x) = 1 / 4 x⁴ + 3 / 2 x² + 5x + C

2 - Primitives de la fonction g

g(x) = 3x³ + 2x² - 4x

G(x) = 3 / 4 x⁴ + 2 / 3 x³ - 2x² + C

3 - Primitives de la fonction h

h(x) = x⁴ - 5x³ - 2x + 3

H(x) = 1 / 5 x⁵ - 5 / 4 x⁴ - x² + 3x + C

Exercice 2

Calculer les primitives des fonctions suivantes

1. f(x) = 1 / 2x + 5
2. g(x) = (2x - 1) (x² - x + 2)
3. h(x) = x / √3x² + 1

Solution

1 - Primitives de la fonction f

f(x) = 1 / 2x + 5

Nous avons la forme u '(x) / u(x) . Car

(2x + 5) ' = 2

Donc

f(x) = 1 / 2 (2x + 5) ' / 2x + 5

et

F(x) = 1 / 2 ln|2x + 5| + C

2 - Primitives de la fonction g

g(x) = (2x - 1) (x² - x + 2)

Nous avons la forme u '(x) (u(x))ⁿ (avec n ≠ -1). Car

(x² - x + 2) ' = 2x - 1

Donc

g(x) = (x² - x + 2) ' (x² - x + 2)

et

G(x) = 1 / 2 (x² - x + 2)² + C

3 - Primitives de la fonction h

h(x) = x / √3x² + 1

Nous avons la forme u '(x) / √u(x) . Car

(3x² + 1) ' = 6x

Donc

h(x) = (3x² + 1) ' / 6 √3x² + 1

et

H(x) = 2 / 6 √3x² + 1 + C = 1 / 3 √3x² + 1 + C

Exercice 3

Calculer les primitives des fonctions suivantes

1. f(x) = 1 / (3x + 4)²
2. g(x) = x e^{x2 - 3}
3. h(x) = 3x / 2x² + 3

Solution

1 - Primitives de la fonction f

f(x) = 1 / (3x + 4)²

Nous avons la forme u '(x) / (u(x))ⁿ (avec n ≠ 1). Car

(3x + 4)' = 3

Donc

f(x) = (3x + 4) ' / 3 (3x + 4)²

et

F(x) = -1 / 3 (3x + 4) + C

2 - Primitives de la fonction g

g(x) = x e^{x2 - 3}

Nous avons la forme u '(x) e^u(x). Car

(x² - 3)' = 2x

Donc

g(x) = 1 / 2 (x² - 3) ' e^{x2 - 3}

et

G(x) = 1 / 2 e^{x2 - 3} + C

3 - Primitives de la fonction h

h(x) = 3x / 2x² + 3

Nous avons la forme u '(x) / u(x) . Car

(2x² + 3)' = 4x

Donc

h(x) = 3 / 4 (2x² + 3) ' / 2x² + 3

et

H(x) = 3 / 4 ln|2x² + 3| + C

Exercice 4

Calculer les primitives des fonctions suivantes

1. f(x) = 3x e^{x2 + 1}
2. g(x) = x + 1 / √x² + 2x + 5
3. h(x) = 4x + 1 / (2x² + x + 3)²

Solution

1 - Primitives de la fonction f

f(x) = 3x e^{x2 + 1}

Nous avons la forme u '(x) e^u(x). Car

(x² + 1)' = 2x

Donc

f(x) = 3 / 2 (x² + 1) ' e^{x2 + 1} + C

et

F(x) = 3 / 2 e^{x2 + 1} + C

2 - Primitives de la fonction g

g(x) = x + 1 / √x² + 2x + 5

Nous avons la forme u '(x) / √u(x) . Car

(x² + 2x + 5)' = 2x + 2 = 2 (x + 1)

Donc

g(x) = 1 / 2 (x² + 2x + 5) ' / √x² + 2x + 5

et

G(x) = 1 / 2 2 √x² + 2x + 5 + C = √x² + 2x + 5 + C

3 - Primitives de la fonction h

h(x) = 4x + 1 / (2x² + x + 3)²

Nous avons la forme u '(x) / (u(x))ⁿ (avec n ≠ 1). Car

(2x² + x + 3)' = 4x + 1

Donc

h(x) = (2x² + x + 3) ' / (2x² + x + 3)²

et

H(x) = -1 / 2x² + x + 3 + C

Exercice 5

Calculer les primitives de la fonction f définie par :

f(x) = x + 5 / (x - 1)(x + 2)

On peut écrire :

f(x) = a / x - 1 + b / x + 2

Déterminons a et b :

Donc

f(x) = 2 / x - 1 - 1 / x + 2

Primitives de la fonction f :

F(x) = 2 ln|x - 1| - ln|x + 2| + C

Exercice 6

Calculer les primitives de la fonction f définie par :

f(x) = 2x - 5 / (x - 1)²

On peut écrire :

f(x) = a / x - 1 + b / (x - 1)²

Déterminons a et b :

Donc

f(x) = 2 / x - 1 - 3 / (x - 1)²

Primitives de la fonction f :

F(x) = ln|x - 1| + 3 / x - 1 + C

Exercice 7

Calculer les primitives de la fonction f définie par :

f(x) = 2x² - x - 2 / x + 1

On peut écrire :

f(x) = ax + b + c / x + 1

Déterminons a, b et c :

Donc

f(x) = 2x - 3 + 1 / x + 1

Primitives de la fonction f :

F(x) = x² - 3x + ln|x + 1| + C