Baccalauréat Dérivabilité en un point
Dérivabilité d'une fonction en un point
Définition
Une fonction f est dérivable en un point a si et seulement s'il existe un nombre réel d tel que :
lim x→a f(x) - f(a) x – a = d
Le nombre réel d résultat de cette limite est appelé le nombre dérivé de f en a. Il est noté f '(a).
Remarques
Si le résultat de cette limite est différent à droite et à gauche de a, alors f n'est pas dérivable en a.
Mais, on parle de dérivabilité à droite et dérivabilité à gauche en un point. c'est à dire:
Une fonction f est dérivable à gauche en un point réel a si et seulement s'il existe un nombre réel d tel que :
lim x→a x < a f(x) - f(a) x – a = d
Le nombre réel d résultat de cette limite est appelé le nombre dérivé à gauche de f en a.
Dérivabilité et tangente à la courbe représentative d'une fonction
Théorème
Si une fonction f est dérivable en un point a, alors sa représentation graphique a pour tangente au point d'abscisse a, la droite d'équation:
y = f '(a) (x - a) + f(a)
f '(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a.
Si f '(a) = 0, alors cette tangente est horizontale (Cas au point d'abscisse -1 ci-dessous).
Si lim x→a f(x) - f(a) x – a = ±∞, alors cette tangente est verticale (Cas au point d'abscisse -2 ci-dessous).
Exemple
Etudions la dérivabilité aux points :
- 0 à droite
- 1
et déterminer les équations des tangentes en ces points à la courbe représentative pour la fonction f définie par
Dérivabilité à droite du point 0
La fonction f n'est pas dérivable au point 0.
La tangente à la représentation graphique de la fonction f au point 0 a pour équation :
x = 0
Dérivabilité au point 1
La fonction f est dérivable au point 1.
La tangente à la représentation graphique de la fonction f au point 1 a pour équation :
y = f '(1) (x - 1) + f(1)
y =
1
2
x +
1
2
A titre indicatif la représentation graphique de la fonction f est comme suit :
