Baccalauréat Exercices Fonction réciproque
Consulter le cours Fonction réciproque
Exercice 1
Soit la fonction numérique f définie par:
1 - Calculer la fonction dérivée f ' de f.
2 - En déduire que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0; +∞[.
3 - Montrer que la fonction f admet sur l'intervalle ]0; +∞[ une fonction réciproque sur l'ensemble ℝ.
4 - Calculer x - f(x) et déterminer son signe.
5 - Déterminer l'expression de f -1.
Solution
1 - La fonction f est définie sur l'ensemble ℝ* par une fonction rationnelle. Elle est donc continue et dérivable sur cet ensemble.
Calcul de la fonction dérivée f ' de f
2 - La fonction f ' est toujours positive sur l'intervalle ]0; +∞[
Donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0; +∞[.
3 - La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0; +∞[, elle admet donc une fonction réciproque sur l'intervalle f(]0; +∞[).
Donc, la fonction f admet sur l'intervalle ]0; +∞[ une fonction réciproque sur l'ensemble ℝ.
4 - Calcul de x - f(x)
Or x ∈ ]0; +∞[. Donc x > 0
Donc
x - f(x) > 0
5 - Expression de f -1