Baccalauréat Fonction réciproque
Fonction réciproque
Théorème
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors elle a une fonction réciproque définie sur l'intervalle f(I).
La fonction réciproque se note f -1 et définie par f(x) = y ⇔ f -1(y) = x
On peut écrire également f -1(f(x)) = x
Exemple
Soit par exemple la fonction carré définie sur ℝ+ par f(x) = x2.
La fonction réciproque de cette fonction est la fonction racine définie sur ℝ+ par f -1(x) = √x.
Comment déterminer la réciproque d'une fonction ?
Pour déterminer la définition de la réciproque d'une fonction à partir de la définition de celle-ci, ecrire
f -1(x) = y ⇔ f(y) = x
Remplacer ensuite f(y) selon la définition de f.
Puis, calculer y en fonction de x pour trouver l'expression de f -1(x).
Exemple
Soit la fonction f définie par
f(x) = √x2 + 1
La fonction f est définie et continue sur ℝ.
Calculons la fonction dérivée f '.
La fonction dérivée f ' est positive sur le domaine [0; +∞[.
Donc, la fonction f est croissante sur ce domaine.
La fonction f admet donc sur l'intervalle [0; +∞[ une fonction réciproque définie sur l'intervalle f([0; +∞[).
La fonction réciproque f -1 est définie sur l'intervalle [1; +∞[.
Détermination de la fonction réciproque f -1
Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction f et celle de sa fonction réciproque sont symétriques par rapport à l'axe Δ d'équation y = x.
