Baccalauréat Exercices Théorème des valeurs intermédiaires
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Exercice 1
Soit la fonction numérique f définie par:
1 - Montrer que l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle [1; 2[.
2 - Calculer la fonction dérivée de f.
3 - Vérifier que la dérivée de f s'annule en 1. Et étudier le signe de cette dérivée.
4 - Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique dans l'intervalle [1; 2[.
5 - Utiliser la méthode de dichotomie pour trouver une solution approchée de l'équation f(x) = 0 dans l'intervalle [1; 2[.
Solution
1 - La fonction f est définie sur l'ensemble ℝ-{2} par une fonction rationnelle. Elle est donc continue sur cet ensemble.
D'autre part
f(1) = 2.
Donc
Donc l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans l'intervalle [1; 2[.
2 - Fonction dérivée de la fonction f.
3 - Calcul de f'(1)
f'(1) = 0.
Donc, le polynôme "x3 - 3x2 + 2" est divisible par "x - 1".
Il suffit d'effectuer une division euclidienne pour trouver que
x3 - 3x2 + 2 = (x - 1)(x2 – 2x – 2).
Pour trouver les zéros pour le polynôme "x2 – 2x – 2", on calcule le discriminant
Δ = 12.
On calcule les zéros pour le polynôme "x2 – 2x – 2"
x1 = 1 - √3.
Et
x2 = 1 + √3.
Le tableau de signe de la fonction dérivée est
4 - Le tableau de variations de la fonction f
La fonction f est donc strictement décroissante dans l'intervalle [1; 2[.
La solution à l'équation f(x) = 0 dans l'intervalle [1; 2[ est donc unique.
5 - Utilisation de la méthode de dichotomie pour trouver une solution approchée à l'équation f(x) = 0 dans l'intervalle [1; 2[.
On divise l'intervalle [1; 2[ en deux intervalles [1; 1,5] et [1,5; 2[.
f(1).f(1.5)=2,25>0
f(1.5). lim x→2 x > 2 f(x)=-∞<0
On garde donc l'intervalle [1,5; 2[ qu'on divise en deux intervalles [1,5; 1,75] et [1,75; 2[.
f(1,5).f(1,75)=-2,5<0
f(1,75). lim x→2 x > 2 f(x)=+∞>0
On garde donc l'intervalle [1,5; 1,75] qu'on divise en deux intervalles [1,5; 1,625] et [1,625; 1,75].
f(1,5).f(1,625)=0,13>0
f(1,625).f(1,75)=-0,25<0
La solution à l'équation f(x) = 0 dans l'intervalle [1; 2[ est comprise entre 1,625 et 1,75.