Baccalauréat Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème
Si f est une fonction continue sur un intervalle [a, b], alors pour tout réel u compris entre f(a) et f(b), il existe au moins une solution pour l'équation f(x) = u.
La solution à cette équation est unique si la fonction f est continue et monotone sur l'intervalle [a; b].
Cas particulier
Si f est une fonction continue sur un intervalle [a, b], et f(a).f(b) ≤ 0, il existe au moins une solution pour l'équation f(x) = 0.
La solution à cette équation est unique si la fonction f est continue et monotone sur l'intervalle [a; b].
f(a).f(b) ≤ 0 est équivalent à : « 0 est compris entre f(a) et f(b) ». Il s'agit donc du cas particulier lorsque le nombre 0 est compris entre f(a) et f(b).
NB. Au cas où la fonction n'est pas définie en a ou en b, utiliser la limite au lieu de l'image, c'est à dire
lim x→a x > a au lieu de f(a)
lim x→b x < b au lieu de f(b)
Application du théorème, Méthode de dichotomie
La méthode de dichotomie permet d'avoir une valeur approchée pour la solution d'une équation f(x) = 0 dans in intervalle [a; b].
Le principe de la méthode consiste à couper l'intervalle [a; b] en deux intervalles [a; a+b 2 ] et [ a+b 2 ; b].
On applique ensuite le théorème des valeurs intermédiaires sur chacun des deux intervalles. On vérifie donc
f(a).f( a+b 2 ) < 0 ?
et
f( a+b 2 ).f(b) < 0 ?
On conserve l'intervalle pour lequel cette proposition est vraie et on lui applique le même procédé. C'est à dire, on le divise en deux, puis on lui applique le théorème des valeurs intermédiaires, et ainsi de suite.
On obtient de cette manière des intervalles de plus en plus petits. Et on arrête lorsqu'on aurait obtenu la précision demandée.
Exemple
Soit la fonction f définie par
f(x) = x3 - 3x + 1
La fonction f est définie et continue sur ℝ.
Déterminons le tableau de variations de f.
Limites aux bornes
lim x→-∞ f(x) = lim x→-∞ (x3 - 3x + 1) = -∞
lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ (x3 - 3x + 1) = +∞
Dérivée de f
f'(x) = 3x2 - 3
= 3 (x2 - 1)
= 3 (x - 1)(x + 1)
Tableau de variations
La fonction f est monotone dans l'intervalle [-1; 1] et f(-1).f(1)=-3<0. L'équation f(x) = 0, admet une solution unique dans cet intervalle.
Déterminons la solution de cette équation par la méthode de dichotomie.
On divise l'intervalle [-1; 1] en deux intervalles [-1; 0] et [0; 1].
f(-1).f(0)=3>0
f(0).f(1)=-1<0
On garde donc l'intervalle [0; 1] qu'on divise en deux intervalles [0; 0,5] et [0,5; 1].
f(0).f(0,5)=-0,375<0
f(0,5).f(1)=+0,375>0
On garde donc l'intervalle [0; 0,5] qu'on divise en deux intervalles [0; 0,25] et [0,25; 0,5].
f(0).f(0,25)=0,265>0
f(0,25).f(0,5)=-0,1<0
La solution à l'équation f(x) = 0 dans l'intervalle [-1; 1] est comprise entre 0,25 et 0,5.