Baccalauréat Etude Exponentielle népérienne
Limites usuelles
Limites en -∞
lim x→-∞ ex = 0
lim x→-∞ xn ex = 0 (n ∈ ℕ*)
Limites en +∞
lim x→+∞ ex = +∞
lim x→+∞ ex xn = +∞ (n ∈ ℕ*)
Limites en 0
lim x→0 ex - 1 x = 1
NB. Cette limite n'est autre que la dérivée de la fonction exponentielle en 0.
Exemple avec changement de variable
lim x→0 x e1/x
Le résultat est différent à droite et à gauche de 0.
lim x→0 x < 0 x e1/x = 0
Concernant la limite à droite, nous avons une forme indéterminée. On peut procéder par un changement de variable. On pose
t = 1 x
Lorsque x tend vers 0 à droite, alors t tend vers +∞, car
lim x→0 x > 0 t = lim x→0 x > 0 1 x = +∞
Donc
lim x→0 x > 0 x e1/x = lim t→+∞ et t = +∞
Exercices corrigés - Limites Fonction Exponentielle
Dérivée de la fonction Exponentielle népérienne
La fonction dérivée de la fonction Exponentielle népérienne est la fonction Exponentielle népérienne elle même :
(ex) ' = ex
(eu(x)) ' = u '(x) . eu(x)
Exemple
Calculons la dérivée de la fonction f définie par
f(x) = ex2 + 2x + 2
f '(x) = (x2 + 2x + 2) ' ex2 + 2x + 2 = (2x + 2) ex2 + 2x + 2
Branches infinies
Nous avons vu la limite en -∞lim x→-∞ ex = 0
La courbe représentative de la fonction Exponentielle népérienne admet une asymptote horizontale d'équation y = 0 (Axe des abscisses).
Concernant les limites au voisinage de +∞
lim x→+∞ ex = +∞
lim x→+∞ ex x = +∞
La courbe représentative de la fonction Exponentielle népérienne admet une branche parabolique de direction asymptotique l'axe des ordonnées au voisinage de +∞.
Tableau de variation
Le tableau de variation de la fonction Exponentielle népérienne est comme suit :
Courbe représentative de la fonction Exponentielle népérienne
La courbe représentative de la fonction Exponentielle népérienne est comme suit :
