Baccalauréat Exercices Etude Fonction Exponentielle

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Exercice 1

Etude de la fonction f définie sur ℝ par :

f(x) = x + e^-x

1. Calculer les limites en -∞ et +∞ de f(x).
2. Calculer f '(x).
3. Etudier le signe de f '(x) et dresser son tableau de variations
4. Calculer f "(x). En déduire que la courbe représentative de la fonction Cf est convexe sur l'ensemble ℝ.
5. Calculer la limite en -∞ de f(x) / x . Déduire.
6. Calculer la limite en +∞ de (f(x) - x). Déduire.
7. Tracer la courbe Cf.

Solution

1 - Limites en -∞ et +∞ de f(x)

lim x→-∞ f(x) = lim x→-∞ (x + e^-x) = lim x→-∞ (x(1 - e^-x / -x )) = +∞

lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ (x + e^-x) = +∞

2 - Calcul de f '(x)

f '(x) = 1 - e^-x

3 - Signe de f '(x) et tableau de variations

f '(x) > 0 ⇒ 1 - e^-x > 0 ⇒ 1 > e^-x ⇒ x > 0

Le tableau de variations est comme suit :

4 - Calcul de f "(x)

f "(x) = e^-x

∀ x ∈ ℝ, f " (x) > 0.

Donc, la courbe représentative de la fonction Cf est convexe sur l'ensemble ℝ.

5 - Branches infinies en -∞

lim x→-∞ f(x) / x = lim x→-∞ (1 - e^-x / -x ) = -∞

La courbe Cf a une branche parabolique de direction asymptotique l'axe des ordonnées au voisinage de -∞.

6 - Branches infinies en +∞

lim x→+∞ (f(x) - x) = lim x→+∞ e^-x = 0

La courbe Cf a une asymptote oblique d'équation y = x au voisinage de +∞.

7 - Courbe Cf

Exercice 2

Etude de la fonction f définie sur ℝ par :

f(x) = x e^1/x pour x ≠ 0

f(0) = 0

1. Calculer les limites en 0 de f(x). Déduire.
2. Calculer la limite en -∞ de f(x). Calculer la limite en -∞ de "f(x) - x". Déduire.
3. Calculer la limite en +∞ de f(x). Calculer la limite en +∞ de "f(x) - x". Déduire.
4. Etudier la dérivabilité de f à gauche de 0. Déduire la tangente en 0 à la courbe représentative de la fonction Cf.
5. Calculer f '(x).
6. Etudier le signe de f '(x) et dresser son tableau de variations
7. Calculer f "(x).
8. Etudier le signe de f "(x). En déduire la concavité de la courbe représentative de la fonction Cf.
9. Tracer la courbe Cf.

Solution

1 - Limites en 0

lim x→0 x < 0 f(x) = lim x→0 x > 0 (x e^1/x) = 0

La limite en 0 à gauche de f(x) est égale à f(0). Donc, f est continue à gauche de 0.

lim x→0 x > 0 f(x) = lim x→0 x > 0 (x e^1/x) = lim x→0 x > 0 e^1/x / 1/x = +∞

La courbe représentative de la fonction Cf admet une asymptote verticale d'équation x = 0.

2 - Limites en -∞ de f(x)

lim x→-∞ f(x) = lim x→-∞ (x e^1/x) = -∞

lim x→-∞ (f(x) - x) = lim x→-∞ x (e^1/x - 1)

On pose

t = 1 / x

t tend vers 0 à gauche lorsque x tend vers -∞. Car

lim x→-∞ t = lim x→-∞ 1 / x = 0^-

Donc

lim x→-∞ x (e^1/x - 1) = lim t→0 t < 0 e^t - 1 / t = 1

La courbe Cf a une asymptote d'équation y = x + 1 au voisinage de -∞.

3 - Limites en +∞ de f(x)

lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ (x e^1/x) = +∞

lim x→+∞ (f(x) - x) = lim x→+ x (e^1/x - 1)

On pose

t = 1 / x

t tend vers 0 à droite lorsque x tend vers +∞. Car

lim x→+∞ t = lim x→+∞ 1 / x = 0⁺

Donc

lim x→+∞ x (e^1/x - 1) = lim t→0 t > 0 e^t - 1 / t = 1

La courbe Cf a une asymptote d'équation y = x + 1 au voisinage de +∞.

4 - Dérivabilité de f à gauche de 0

lim x→0 x < 0 f(x) - f(0) / x - 0 = lim x→0 x < 0 e^1/x = 0

La fonction f est dérivable au point 0 à gauche. L'équation de la tangente à la courbe Cf est :

y = 0

5 - Calcul de f '(x)

6 - Signe de f '(x) et tableau de variations

Le tableau de signe de f '(x) :

Le tableau de variations est comme suit :

7 - Calcul de f "(x)

8 - Signe de f "(x) et concavité

f "(x) > 0 ⇔ x > 0

Le tableau de concavité de la fonction est

9 - Courbe Cf

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