Baccalauréat Exercices Exponentielle népérienne Propriétés

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Exercice 1

Simplifier l'expression

e^{3 ln(8)} + e^{2 ln(25)} - e^{3 ln(10)}

Solution

Exercice 2

Simplifier l'expression

e^{3 ln(5)} - e^{2 ln(10)} + e^ln(8)

Solution

Exercice 3

Simplifier l'expression

e^{3 ln(√5)} - e^ln(√45) - e^ln(√20)

Solution

Exercice 4

Résoudre dans ℝ les équations suivantes

1. e^{x - 5} = e³
2. e^{2x - 5} - e^{x + 2} = 0
3. e^{2x + 3} = 3

Solution

1 - L'équation

L'ensemble de solutions de l'équation est S = {8}

2 - L'équation

L'ensemble de solutions de l'équation est S = {7}

3 - L'équation

L'ensemble de solutions de l'équation est S = { ln(3) - 3 / 2 }

Exercice 5

Résoudre dans ℝ les équations suivantes

1. e^{2x - 5} / e^{x + 2} = e
2. e^{2x - 3} / e^{3x + 2} = e^{x - 2} / e^{3x + 4}
3. e^{x - 3} . e^{x - 2} = e^{2x - 5}

Solution

1 - L'équation

L'ensemble de solutions de l'équation est S = {8}

2 - L'équation

L'ensemble de solutions de l'équation est S = {-1}

3 - L'équation

L'équation est vrai, quel que soit x appartenant à ℝ.

L'ensemble de solutions de l'équation est S = ℝ

Exercice 6

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes

1. e^{x - 5} > e³
2. e^{2x - 5} - e^{x + 2} < 0
3. e^{2x + 3} > 3

Solution

1 - L'inéquation

L'ensemble de solutions de l'inéquation est S = ] 8 ; +∞ [

2 - L'inéquation

L'ensemble de solutions de l'inéquation est S = ] -∞ ; 7 [

3 - L'inéquation

L'ensemble de solutions de l'inéquation est S = ] ln(3) - 3 / 2 ; +∞ [

Exercice 7

Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes

1. e^{2x - 5} / e^{x + 2} > e
2. e^{2x - 3} / e^{3x + 2} > e^{x - 2} / e^{3x + 4}
3. e^{x - 3} . e^{x - 2} < e^{2x - 5}

Solution

1 - L'inéquation

L'ensemble de solutions de l'inéquation est S = ] 8 ; +∞ [

2 - L'inéquation

L'ensemble de solutions de l'inéquation est S = ] -1 ; +∞ [

3 - L'inéquation

L'inéquation est impossible, quel que soit x appartenant à ℝ.

L'ensemble de solutions de l'inéquation est S = ∅

Exercice 8

1 - Résoudre dans ℝ l'équation suivante

e^2x - 2 e^x - 3 = 0

2 - Résoudre dans ℝ l'inéquation suivante

e^2x - 2 e^x - 3 < 0

Solution

1 - L'équation

e^2x - 2 e^x - 3 = 0 ⇔ (e^x)² - 2 e^x - 3 = 0

Si on pose t = e^x l'équation devient

t² - 2 t - 3 = 0

Nous avons ainsi une équation avec un polynôme de second degré de solutions

t₁ = -1
et
t₂ = 3

Donc

e^x₁ = -1 est impossible
et
e^x₂ = 3 ⇒ x₂ = ln(3)

L'ensemble de solutions de l'équation est S = {ln(3)}

2 - L'équation

Avec le même changement de variable l'inéquation devient

t² - 2 t - 3 < 0

Donc

-1 < t < 3 ⇒ -1 < e^x < 3 ⇒ -∞ < x < ln(3)

L'ensemble de solutions de l'inéquation est S = ] -∞ ; ln(3) [

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