Baccalauréat Exponentielle népérienne Propriétés

Définition

La fonction exponentielle népérienne, notée exp(x) ou bien e^x, est la fonction inverse de la fonction logarithme népérien.

Domaine de définition

La fonction exponentielle népérienne est définie sur l'ensemble ℝ.

Donc.

∀ x ∈ ℝ, ln(e^x) = x

∀ x ∈ ℝ^*+, e^ln(x) = x

Exemple

e⁰ = e^ln(1) = 1

e¹ = e^ln(e) = e

La fonction exponentielle népérienne est strictement positive sur l'ensemble ℝ.

La fonction exponentielle népérienne est strictement croissante sur l'ensemble ℝ. Par conséquent

x = y ⇔ e^x = e^y

x < y ⇔ e^x < e^y

L'étude de la fonction exponentielle népérienne sera traitée en détail au chapitre suivant. A titre indicatif voici sa courbe représentative.

$Courbe Exponentielle népérienne$

e^x+y = e^x . e^y

e^-x = 1 / e^x

e^x-y = e^x / e^y

(e^x)ⁿ = e^nx

Exemples

Simplifier l'expression

e^{4 ln(3)} + e^{3 ln(4)} - e^{2 ln(12)}

Résoudre l'équation

e^{x + 1} = e^{4 - x}

L'ensemble de solutions de l'équation est S = { 3 / 2 }

Soit par exemple l'équation suivante

e^2x - 3 e^x + 2 = 0 ⇒ (e^x)² - 3 e^x + 2 = 0

On pose t = e^x l'équation devient

t² - 3t + 2 = 0

Nous avons ainsi une équation avec un polynôme de second degré de solutions

t₁ = 1
et
t₂ = 2

Donc

e^x₁ = 1 ⇒ x₁ = 0
et
e^x₂ = 2 ⇒ x₂ = ln(2)

L'ensemble de solutions de l'équation est S = {0;ln(2)}

L'utilisation de changement de variable est notamment utile pour le calcul de limites et de fonctions primitives.