Baccalauréat Exercices Limites Fonction Logarithme

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Exercice 1

Calculer les limites suivantes

  1. lim x→+∞ (x - ln(x))
  2. lim x→0 x > 0 ( 1 / x + ln(x))
  3. lim x→-∞ ln(1 - x) / x

Solution

1 - Calcul de la limite

lim x→+∞ (x - ln(x)) = lim x→+∞ x(1 - ln(x) / x ) = +∞

2 - Calcul de la limite

lim x→0 x > 0 ( 1 / x + ln(x)) = lim x→0 x > 0 1 / x (1 + xln(x)) = +∞

3 - Calcul de la limite

Exercice 2

Calculer les limites suivantes

  1. lim x→+∞ (x2 - 3x - ln(x))
  2. lim x→+∞ ( 1 / x ln(x2 - 2))
  3. lim x→-∞ x ln(1 - 1 / x )

Solution

1 - Calcul de la limite

lim x→+∞ (x2 - 3x - ln(x)) = lim x→+∞ (x2(1 - 3 / x - ln(x) / x2 )) = +∞

2 - Calcul de la limite

3 - Calcul de la limite

lim x→-∞ x ln(1 - 1 / x )

On pose

t = - 1 / x

t tend vers 0 à droite lorsque x tend vers -∞. Car

lim x→-∞ t = lim x→-∞ (- 1 / x ) = 0+

Donc

lim x→-∞ x ln(1 - 1 / x ) = lim t→0 t > 0 -ln(1 + t) / t = -1

Exercice 3

Calculer les limites suivantes

  1. lim x→+∞ ln(x) / x2 + 3x + 1
  2. lim x→+∞ (ln(x3 + 2x + 5) - ln(x2 + 3x - 1))
  3. lim x→+∞ x + 2 / ln(x) - 1

Solution

1 - Calcul de la limite

2 - Calcul de la limite

3 - Calcul de la limite

= 1 / 0+ car ln(x) - 1 > 0 quand x tend vers +∞.

Exercice 4

Calculer les limites suivantes

  1. lim x→+∞ (ln(x))2 / x
  2. lim x→+∞ √ln(x) / x

Solution

1 - Calcul de la limite

lim x→+∞ (ln(x))2 / x

On pose

t = √x ⇔ x = t2

t tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞. Car

lim x→+∞ t = lim x→+∞ √x = 0+

Donc

2 - Calcul de la limite

lim x→+∞ √ln(x) / x