Baccalauréat Etude Fonction Logarithme népérien
Limites usuelles
Limites à droite de 0
lim x→0 x > 0 ln(x) = -∞
lim x→0 x > 0 xn ln(x) = 0 (n ∈ ℕ*)
Limites en +∞
lim x→+∞ ln(x) = +∞
lim x→+∞ ln(x) xn = 0 (n ∈ ℕ*)
Limites en 1
lim x→1 ln(x) x - 1 = 1
NB. Cette limite n'est autre que la dérivée de la fonction logarithme en 1.
A retenir également une variante de cette limite que l'on peut en déduire simplement par changement de variable :
lim x→0 ln(x + 1) x = 1
Exemple avec changement de variable
lim x→-∞ ln(1 - x) 1 - x
On pose
t = 1 - x
Il faut d'abord savoir vers quoi tend t lorsque x tend vers -∞. Et la réponse t tend vers +∞, car
lim x→-∞ t = lim x→-∞ (1 - x) = +∞
Donc
lim x→-∞ ln(1 - x) 1 - x = lim t→+∞ ln(t) t = 0
Autre exemple
Nous avons vu ci-dessus que ∀n ∈ ℕ*
lim x→0 x > 0 xn ln(x) = 0
Qu'en est t-il de
lim x→0 x > 0 √xln(x)
On pose
t = √x ⇔ x = t2
t tend vers 0 à droite lorsque x tend vers 0 à droite. Car
lim x→0 x > 0 t = lim x→0 x > 0 √x = 0+
Donc
lim x→0 x > 0 √xln(x) = lim t→0 t > 0 (t ln(t2)) = 2 lim t→0 t > 0 (t ln(t)) = 0
De même
Nous avons vu ci-dessus que ∀n ∈ ℕ*
lim x→+∞ ln(x) xn = 0
Qu'en est t-il de
lim x→+∞ ln(x) √x
On pose
t = √x ⇔ x = t2
t tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞. Car
lim x→+∞ t = lim x→+∞ √x = 0+
Donc
lim x→+∞ ln(x) √x = lim t→+∞ ln(t2) t = 2 lim t→+∞ ln(t) t = 0
Exercices corrigés - Limites Fonction Logarithme
Dérivée de la fonction Logarithme népérien
La fonction dérivée de la fonction logarithme népérien est la fonction définie sur ]0;+∞[ par
f(x) = 1 x
(ln(u(x))) ' = u '(x) u(x)
Exemple
Calculons la dérivée de la fonction f définie par
f(x) = ln(x2 + 2x + 2)
f '(x) = (x2 + 2x + 2) ' ln(x2 + 2x + 2) = 2x + 2 ln(x2 + 2x + 2)
Branches infinies
Nous avons vu la limite à droite de 0lim x→0 x > 0 ln(x) = -∞
La courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet une asymptote verticale d'équation x = 0 (Axe des ordonnées).
Concernant les limites au voisinage de +∞
lim x→+∞ ln(x) = +∞
lim x→+∞ ln(x) x = 0
La courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet une branche parabolique de direction asymptotique l'axe des abscisses au voisinage de +∞.
Tableau de variation
Le tableau de variation de la fonction logarithme népérien est comme suit :
Courbe représentative de la fonction Logarithme népérien
La courbe représentative de la fonction logarithme népérien est comme suit :
