Baccalauréat Exercices Logarithme népérien Propriétés
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Exercice 1
Simplifier l'expression de 2 manières
ln(16) + 2 ln(25) - 4 ln(10)
Solution
Autre solution
Exercice 2
Simplifier l'expression de 2 manières
ln(125) - 2 ln(10) + ln(8) + ln(0,1)
Solution
Autre solution
Exercice 3
Simplifier l'expression de 2 manières
3 ln(√5) + ln(0,4) - ln(√20)
Solution
Autre solution
Exercice 4
Déterminer le domaine de définition pour chacune des fonctions suivantes
- f(x) = ln(x + 5)
- g(x) = ln(x + 2) - ln(3 - x)
- h(x) = ln(x2 - 3x + 2)
Solution
1 - Fonction f
x + 5 > 0 ⇒ x > -5
Donc
Df = ]-5;+∞[
2 - Fonction g
x + 5 > 0 ⇒ x > -2
et
3 - x > 0 ⇒ x < 3
Donc
Dg = ]-2;3[
3 - Fonction h
x2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Donc
x2 - 3x + 2 > 0 ⇒ x < 1 ou x > 2
Donc
Dh = ]-∞;1[∪]2;+∞[
Exercice 5
Déterminer le domaine de définition pour chacune des fonctions suivantes
- f(x) = ln( x + 2 x - 1 )
- g(x) = ln(x + 2) ln(x - 1)
- h(x) = ln(x) + 2 ln(x) - 1
Solution
1 - Fonction f
x + 2
x - 1
> 0 ⇒ x < -2 ou x > 1
et
x - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
Donc
Df = ]-∞;-2[∪]1;+∞[
2 - Fonction g
x + 2 > 0 ⇒ x > -2
et
x - 1 > 0 ⇒ x > 1
et
ln(x - 1) ≠ 0 ⇒ x - 1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2
Donc
Dg = ]-1;2[∪]2;+∞[
3 - Fonction h
x > 0
et
ln(x) - 1 ≠ 0 ⇒ ln(x) ≠ 1 ⇒ x ≠ e
Donc
x2 - 3x + 2 > 0 ⇒ x < 1 ou x > 2
Donc
Dh = ]0;e[∪]e;+∞[
Exercice 6
Déterminer le domaine de définition pour chacune des fonctions suivantes
- f(x) = ln(√x2 + 3 - 2)
- g(x) = ln(√x2 - 1 + 2)
- h(x) = ln(√x2 - 1 - 2)
Solution
1 - Fonction f
Donc
Df = ]-∞;-1[∪]1;+∞[
2 - Fonction g
x2 - 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ -1 ou x ≥ 1
Donc
Dg = ]-∞;-1]∪[1;+∞[
3 - Fonction h
x2 - 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ -1 ou x ≥ 1
et
Donc
Dh = ]-∞;-√5[∪]√5;+∞[
Exercice 7
Résoudre dans ℝ les équations suivantes
- ln(x - 5) = ln(3)
- ln(2x - 5) - ln(x + 2) = 0
- ln(2x + 3) = 3
Solution
1 - L'équation
ln(x - 5) = ln(3)
L'équation est définie si
x - 5 > 0 ⇒ x > 5
L'équation est définie sur ]5;+∞[
Or
8 ∈ ]5;+∞[
L'ensemble de solutions de l'équation est S = {8}
2 - L'équation
ln(2x - 5) - ln(x + 2) = 0
L'équation est définie si
2x - 5 > 0 ⇒ x >
5
2
et
x + 2 > 0 ⇒ x > -2
L'équation est définie sur ] 5 2 ;+∞[
Or
7 ∈ ] 5 2 ;+∞[
L'ensemble de solutions de l'équation est S = {7}
3 - L'équation
ln(2x + 3) = 3
L'équation est définie si
2x + 3 > 0 ⇒ x > -3 2
L'équation est définie sur ] -3 2 ;+∞[
Or
e3 - 3 2 ∈ ] -3 2 ;+∞[
L'ensemble de solutions de l'équation est S = { e3 - 3 2 }
Exercice 8
Résoudre dans ℝ les équations suivantes
- ln(2x - 5) - ln(x + 2) = 1
- ln(2x - 3) - ln(3x + 2) = ln(x - 2) - ln(3x + 4)
- ln(x - 3) + ln(x - 2) = ln(x2 - 5x + 6)
Solution
1 - L'équation
ln(2x - 5) - ln(x + 2) = 1
L'équation est définie si
2x - 5 > 0 ⇒ x >
5
2
et
x + 2 > 0 ⇒ x > -2
L'équation est définie sur ] 5 2 ;+∞[
Or
5 + 2e 2 - e ∉ ] 5 2 ;+∞[
L'ensemble de solutions de l'équation est S = ∅
2 - L'équation
ln(2x - 3) - ln(3x + 2) = ln(x - 2) - ln(3x + 4)
L'équation est définie si
2x - 3 > 0 ⇒ x >
3
2
et
3x + 2 > 0 ⇒ x >
-2
3
et
x - 2 > 0 ⇒ x > 2
et
3x + 4 > 0 ⇒ x >
-4
3
L'équation est définie sur ]2;+∞[
Nous avons une équation de second degré. Le discriminant
Δ = 105
Les zéros pour le polynôme sont
x1 =
-3 - √105
6
≃ -2,21
x2 =
-3 + √105
6
≃ 1,21
Or
-3 - √105
6
∉ ]2;+∞[
et
-3 + √105
6
∉ ]2;+∞[
L'ensemble de solutions de l'équation est S = ∅
3 - L'équation
ln(x - 3) + ln(x - 2) = ln(x2 - 5x + 6)
Remarquons que
x2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)
Donc l'équation est toujours vraie dans son domaine de définition.
L'équation est définie si
x - 3 > 0 ⇒ x > 3
et
x - 2 > 0 ⇒ x > 2
L'équation est définie sur ]3;+∞[
Et l'ensemble de solutions de l'équation est S = ]3;+∞[
Exercice 9
Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes
- ln(x - 5) > ln(3)
- ln(2x - 5) - ln(x + 2) < 0
- ln(2x + 3) > 3
Solution
1 - L'inéquation
ln(x - 5) > ln(3)
L'inéquation est définie si
x - 5 > 0 ⇒ x > 5
L'inéquation est définie sur ]5;+∞[
L'ensemble de solutions de l'inéquation est S = ]5;+∞[∩]8;+∞[ = ]8;+∞[
2 - L'inéquation
ln(2x - 5) < ln(x + 2) = 0
L'inéquation est définie si
2x - 5 > 0 ⇒ x >
5
2
et
x + 2 > 0 ⇒ x > -2
L'inéquation est définie sur ] 5 2 ;+∞[
L'ensemble de solutions de l'inéquation est S = ] 5 2 ;+∞[∩]-∞;7[ = ] 5 2 ;7[
3 - L'inéquation
ln(2x + 3) > 3
L'inéquation est définie si
2x + 3 > 0 ⇒ x > -3 2
L'inéquation est définie sur ] -3 2 ;+∞[
L'ensemble de solutions de l'inéquation est S = ] -3 2 ;+∞[∩] e3 - 3 2 ;+∞[ = ] e3 - 3 2 ;+∞[
Exercice 10
Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes
- ln(2x - 5) - ln(x + 2) > 1
- ln(2x - 3) - ln(3x + 2) > ln(x - 2) - ln(3x + 4)
- ln(x - 2) + ln(2x - 1) < ln(x2 - 5x + 6)
Solution
1 - L'inéquation
ln(2x - 5) - ln(x + 2) > 1
L'inéquation est définie si
2x - 5 > 0 ⇒ x >
5
2
et
x + 2 > 0 ⇒ x > -2
L'inéquation est définie sur ] 5 2 ;+∞[
L'ensemble de solutions de l'inéquation est S = ] 5 2 ;+∞[∩] 5 + 2e 2 - e ;+∞[ = ] 5 2 ;+∞[
2 - L'inéquation
ln(2x - 3) - ln(3x + 2) > ln(x - 2) - ln(3x + 4)
L'inéquation est définie si
2x - 3 > 0 ⇒ x >
3
2
et
3x + 2 > 0 ⇒ x >
-2
3
et
x - 2 > 0 ⇒ x > 2
et
3x + 4 > 0 ⇒ x >
-4
3
L'inéquation est définie sur ]2;+∞[
Nous avons une inéquation de second degré. Le discriminant
Δ = 105
Les zéros pour le polynôme sont
x1 =
-3 - √105
6
≃ -2,21
x2 =
-3 + √105
6
≃ 1,21
Le polynome est positif si
x ∈ ]-∞; -3 - √105 6 [U] -3 + √105 6 ;+∞[
L'ensemble de solutions de l'inéquation est S = ]2;+∞[∩(]-∞; -3 - √105 6 [U] -3 + √105 6 ;+∞[) = ]2;+∞[
3 - L'inéquation
ln(x - 2) + ln(2x - 1) < ln(x2 - 5x + 6)
Remarquons que
x2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)
L'inéquation est définie si
x - 2 > 0 ⇒ x > 2
et
2x - 1 > 0 ⇒ x >
1
2
et
(x - 3)(x - 2) > 0 ⇒ x < 2 ou x > 3
L'inéquation est définie sur ]3;+∞[
L'ensemble de solutions de l'inéquation est S = ]3;+∞[∩]-∞;-2[ = ∅
Exercice 11
Résoudre dans ℝ l'équation suivante
(ln(x))2 - ln(x2) - 3 = 0
Solution
L'équation est définie si
x > 0
L'équation est définie sur ]0;+∞[
(ln(x))2 - ln(x2) - 3 = 0 ⇔ (ln(x))2 - 2ln(x) - 3 = 0
Si on pose t = ln(x) l'équation devient
t2 - 2t - 3 = 0
Nous avons ainsi une équation avec un polynome de second degré de solutions
t1 = -1
et
t2 = 3
Donc
ln(x1) = -1 ⇒ x1 =
1
e
et
ln(x2) = 3 ⇒ x2 = e3
L'ensemble de solutions de l'équation est S = { 1 e ,e3}