Baccalauréat Logarithme népérien Propriétés
Définition
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction primitive de la fonction définie par f(x) = 1 x qui s'annule en 1.
Domaine de définition
La fonction logarithme népérien est définie sur ]0;+∞[.
C'est dire que le logarithme d'un nombre négatif n'existe pas et le logarithme de 0 n'existe pas.
Exemple
Soit la fonction numérique f définie par:
f(x) = ln(x2 - 4) + ln(x + 1)
f(x) existe si
x2 - 4 > 0
et
x + 1 > 0
Le domaine de définition de f est Df = ]-1;2[
Autre conséquence
Si vous avez une équation ou un inéquation comportant la fonction logarithme, alors il faut déterminer le ou les domaines où les expressions de l'équation n'existent pas afin d'exclure ces domaines de l'ensemble de solutions.
Soit par exemple l'inéquation:
ln(x2 - 4) > ln(x + 1)
Nous allons voir les propriétés nous permettant de résoudre ces équations. Mais, le but ici est de préciser que toute solution qui n'appartient pas au domaines ]-1;2[ est à exclure de l'ensemble de solutions.
Nombre d'Euler
Le nombre ayant pour logarithme 1 noté e (ln(e) = 1) est une constante mathématique appelée nombre d'Euler. Elle vaut environ e ≃ 2,718.
Propriétés
La fonction logarithme népérien a pour dérivée la fonction définie par f(x) = 1 x . La fonction logarithme népérien est donc strictement croissante sur l'intervalle ]0;+∞[. Par conséquent
x = y ⇔ ln(x) = ln(y)
0 < x < y ⇔ ln(x) < ln(y)
Donc
x = 1 ⇔ ln(x) = 0
0 < x < 1 ⇔ ln(x) < 0
x > 1 ⇔ ln(x) > 0
L'étude de la fonction logarithme népérien sera traitée en détail au chapitre suivant. A titre indicatif voici sa courbe représentative.
Autre propriétés
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(
1
x
) = -ln(x)
ln(
x
y
) = ln(x) - ln(y)
ln(xn) = n ln(x)
ln(√x) =
1
2
ln(x)
Exemples
Simplifier l'expression
ln(27) + 4 ln(16) - 3 ln(48)
Résoudre l'équation
ln(x + 1) = ln(4 - x)
L'équation est définie si
x + 1 > 0 ⇒ x > -1
et
4 - x > 0 ⇒ x < 4
L'équation est définie sur ]-1;4[
Or
3 2 ∈ ]-1;4[
L'ensemble de solutions de l'équation est S = { 3 2 }
Changement de variable
Soit par exemple l'équation suivante
(ln(x))2 - 3ln(x) + 2 = 0
L'équation est définie si
x > 0
L'équation est définie sur ]0;+∞[
Si on pose t = ln(x) l'équation devient
t2 - 3t + 2 = 0
Nous avons ainsi une équation avec un polynome de second degré de solutions
t1 = 1
et
t2 = 2
Donc
ln(x1) = 1 ⇒ x1 = e
et
ln(x2) = 2 ⇒ x2 = e2
L'ensemble de solutions de l'équation est S = {e,e2}
L'utilisation de changement de variable est notamment utile pour le calcul de limites et de fonctions primitives.