Baccalauréat Exercices Limites de suites
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Exercice 1
Soit la suite numérique (un) définie par :
u0 = -1 un+1 = 1 3 un - 4 3
- Montrer par récurrence que un est minorée par -2.
- Montrer que (un) est décroissante. En déduire que (un) est convergente.
Soit la suite (vn) définie par :
vn = un + 2
- Calculer v0.
- Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 1 3 .
- Déterminer l'expression de (vn) en fonction de n
- Déterminer l'expression de (un) en fonction de n
- Calculer la limite de (un).
Solution
1 - Montrer par récurrence que un est minorée par -2.
Je vérifie que c'est vraie pour le premier terme 0
u0 = -1 > -2
Je suppose que c'est vraie pour un entier naturel n et je démontre que c'est vraie pour n+1.
2 - Démontrons que (un) est décroissante.
Or (un) est minorée par -2
un > -2 ⇒ un + 2 > 0
Donc pour tout entier naturel n
un+1 - un < 0
Donc (un) est décroissante.
Or (un) est minorée par -2. Donc (un) est convergente.
3 - Calcul de v0
v0 = u0 + 2 = -1 + 2 = 1
4 - Montrons que (vn) est une suite géométrique de raison 1 3
Donc (vn) est une suite géométrique de raison 1 3
5 - Expression de (vn) en fonction de n
(vn) est une suite géométrique de raison 1 3 . Donc
vn = v0 ( 1 3 )n = ( 1 3 )n
6 - Expression de (un) en fonction de n
un = vn - 2 = ( 1 3 )n - 2
7 - Limite de (un)
La limite d'une suite géométrique qn avec q compris entre -1 et 1 est égale à 0. Donc
lim n→+∞ un = lim n→+∞ (( 1 3 )n - 2) = -2
Exercice 2
Soit la suite numérique (un) définie par :
u0 = 1 un+1 = 8 un 3 un + 2
- Montrer par récurrence que un est minorée par 0.
- Montrer que un+1 = 8 3 - 16 9 un + 6 .
- Montrer par récurrence que un est majorée par 2.
- Montrer que (un) est croissante. En déduire que (un) est convergente.
Soit la suite (vn) définie par :
vn = 2 - un un
- Calculer v0.
- Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 1 4 .
- Déterminer l'expression de (vn) en fonction de n
- Déterminer l'expression de (un) en fonction de n
- Calculer la limite de (un).
Solution
1 - Montrer par récurrence que un est minorée par 0.
Je vérifie que c'est vraie pour le premier terme 0
u0 = 1 > 0
Je suppose que c'est vraie pour un entier naturel n et je démontre que c'est vraie pour n+1.
2 - Montrons que un+1 = 8 3 - 16 9 un + 6 .
3 - Montrer par récurrence que un est majorée par 2.
Je vérifie que c'est vraie pour le premier terme 0
u0 = 1 < 2
Je suppose que c'est vraie pour un entier naturel n et je démontre que c'est vraie pour n+1.
4 - Démontrons que (un) est croissante.
Or (un) est majorée par 2
un < 2 ⇒ un - 2 < 0 ⇒ 2 - un > 0
Et (un) est minorée par 0
un > 0 ⇒ 3 un > 0 ⇒ 3 un + 2 > 0
Donc pour tout entier naturel n
un+1 - un > 0
Donc (un) est croissante.
Or (un) est majorée par 2. Donc (un) est convergente.
5 - Calcul de v0
v0 = 2 - u0 u0 = 2 - 1 1 = 1
6 - Montrons que (vn) est une suite géométrique de raison 1 4
Donc (vn) est une suite géométrique de raison 1 4
7 - Expression de (vn) en fonction de n
(vn) est une suite géométrique de raison 1 4 . Donc
vn = v0 ( 1 4 )n = ( 1 4 )n
8 - Expression de (un) en fonction de n
9 - Limite de (un)
La limite d'une suite géométrique qn avec q compris entre -1 et 1 est égale à 0. Donc
lim n→+∞ un = 2
Exercice 3
Soit la suite numérique (un) définie par :
u0 = 3 2 un+1 = 5 un - 4 2 un - 1
- Montrer que un+1 = 5 2 - 3 4 un - 2 .
- Montrer par récurrence que un est minorée par 1.
- Montrer par récurrence que un est majorée par 2.
- Montrer que (un) est croissante. En déduire que (un) est convergente.
Soit la suite (vn) définie par :
vn = un - 2 -un + 1
- Calculer v0.
- Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 1 3 .
- Déterminer l'expression de (vn) en fonction de n
- Déterminer l'expression de (un) en fonction de n
- Calculer la limite de (un).
Solution
1 - Montrons que un+1 = 5 2 - 3 4 un - 2 .
2 - Montrer par récurrence que un est minorée par 1.
Je vérifie que c'est vraie pour le premier terme 0
u0 = 3 2 > 1
Je suppose que c'est vraie pour un entier naturel n et je démontre que c'est vraie pour n+1.
3 - Montrer par récurrence que un est majorée par 2.
Je vérifie que c'est vraie pour le premier terme 0
u0 = 3 2 < 2
Je suppose que c'est vraie pour un entier naturel n et je démontre que c'est vraie pour n+1.
4 - Démontrons que (un) est croissante.
Nous avons un polynôme de degré 2, "x2 - 3x + 2". Calculons son discriminant
Δ = 1
On calcule les zéros pour le polynôme "x2 - 3x + 2"
x1 = 1
x2 = 2
Donc
x2 - 3x + 2 < 0 pour x compris entre 1 et 2.
Or (un) est compris entre 1 et 2. Donc pour tout entier naturel n
un+1 - un > 0
Donc (un) est croissante.
Or (un) est majorée par 2. Donc (un) est convergente.
5 - Calcul de v0
v0 = u0 - 2 -u0 + 1 = 1
6 - Montrons que (vn) est une suite géométrique de raison 1 3
Donc (vn) est une suite géométrique de raison 1 3
7 - Expression de (vn) en fonction de n
(vn) est une suite géométrique de raison 1 3 . Donc
vn = v0 ( 1 3 )n = ( 1 3 )n
8 - Expression de (un) en fonction de n
9 - Limite de (un)
La limite d'une suite géométrique qn avec q compris entre -1 et 1 est égale à 0. Donc
lim n→+∞ un = 2
Exercice 4
Soit la suite numérique (un) définie par :
u0 = 0 un+1 = 2 un + 1 -un + 4
- Montrer que un+1 = -2 + 9 -un + 4 .
- Montrer par récurrence que un est majorée par 1.
- Montrer que (un) est croissante. En déduire que (un) est convergente.
Soit la suite (vn) définie par :
vn = un - 2 un - 1
- Calculer v0.
- Montrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1 3 .
- Déterminer l'expression de (vn) en fonction de n
- Déterminer l'expression de (un) en fonction de n
- Calculer la limite de (un).
Solution
1 - Montrons que un+1 = -2 + 9 -un + 4 .
2 - Montrer par récurrence que un est majorée par 1.
Je vérifie que c'est vraie pour le premier terme 0
u0 = 0 < 1
Je suppose que c'est vraie pour un entier naturel n et je démontre que c'est vraie pour n+1.
3 - Démontrons que (un) est croissante.
Or un est majorée par 1
un < 1
Donc
-un > -1
Donc
-un + 4 > 3 > 0
Donc pour tout entier naturel n
un+1 - un > 0
Donc (un) est croissante.
Or (un) est majorée par 2. Donc (un) est convergente.
4 - Calcul de v0
v0 = u0 - 2 -u0 + 1 = 2
5 - Montrons que (vn) est une suite arithmétique de raison 1 3
Donc (vn) est une suite arithmétique de raison 1 3
6 - Expression de (vn) en fonction de n
(vn) est une suite arithmétique de raison 1 3 . Donc
vn = v0 + 1 3 n = 2 + n 3
7 - Expression de (un) en fonction de n
8 - Limite de (un)
lim n→+∞ un = lim n→+∞ n n + 3 = 1