Baccalauréat Limites de suites
Rappels
Suites arithmétiques
(un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre réel r tel que, pour tout entier naturel n
un+1 = un + r
Le nombre réel r est appelé la raison de la suite (un).
La formule de un en fonction de n est
un = u0 + nr
Somme de termes
Sn = u0 + u1 + u2 + ...... + un = (n + 1) u0 + un 2 = (n + 1) 2u0 + nr 2
Exemple
(un) est une suite définie par
u0 = 3 un+1 = un + 2
Je déduit la formule de un en fonction de n et la somme des termes
un = 3 + 2r Sn = u0 + u1 + u2 + ...... + un = (n + 1) 2 . 3 + n . 2 2 = (n + 1)(n + 3)
Suites géométriques
(un) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel q tel que, pour tout entier naturel n
un+1 = qun
Le nombre réel q est appelé la raison de la suite (un).
La formule de un en fonction de n est
un = u0 qr
Somme de termes pour q ≠ 1
Sn = u0 + u1 + u2 + ...... + un = u0(1 + q + q2 + ...... + qn) = u0 1 - qn+1 1 - q
Exemple
(un) est une suite définie par
u0 = 3 un+1 = 2un
Je déduit la formule de un en fonction de n et la somme des termes
un = 3 (2)r Sn = u0 + u1 + u2 + ...... + un = 3 1 - 2n+1 1 - 2 = 3 (2n+1 - 1)
Suite majorée ou minorée
(un) est une suite majorée par un nombre réel M si pour tout entier naturel n
un < M
(un) est une suite minorée par un nombre réel m si pour tout entier naturel n
un > m
Nous démontrons souvent cela par la démonstration par récurrence. Avant de donner un exemple sur les suites majorées ou minorées, nous allons rappeler la démonstration par récurrence.
Démonstration par récurrence
Pour démontrer qu'une proposition (Pn) est vraie pour tout entier naturel n à partir d'un entier naturel n0, il suffit de
- Vérifier que la proposition est vraie pour le premier terme n0
- Supposer que la proposition est vraie pour un entier naturel n et démontrer que dans ce cas la proposition est vraie pour l'entier suivant c'est à dire pour n+1
Autrement dit
- Vérifier que Pn0 est vraie
- Démontrer que (Pn est vraie) ⇒ (Pn+1 est vraie)
Exemple
(un) est une suite définie par
u0 = 5 un+1 = 1 2 un + 3 2
Je démontre par récurrence que (un) est minorée par 3.
Je vérifie que c'est vraie pour le premier terme 0
u0 = 5 > 3
Je suppose que c'est vraie pour un entier naturel n et je démontre que c'est vraie pour n+1.
Monotonie d'une suite numérique
Une suite numérique (un) est croissante si pour tout entier naturel n
un+1 - un > 0
Une suite numérique (un) est décroissante si pour tout entier naturel n
un+1 - un < 0
Si une suite est croissante alors elle est minorée par son premier terme.
Si une suite est décroissante alors elle est majorée par son premier terme.
Exemple
Reprenons l'exemple de la suite numérique (un) définie par
u0 = 5 un+1 = 1 2 un + 3 2
Nous avons démontré que (un) est minorée par 3.
Démontrons que (un) est décroissante.
Or (un) est minorée par 3
un > 3 ⇒ 3 - un < 0
Donc pour tout entier naturel n
un+1 - un < 0
Donc (un) est décroissante.
Nous déduisons que (un) est majorée par u0 = 5
Suite convergente ou divergente
Une suite numérique (un) est convergente si elle a une limite finie.
lim n→+∞ un = l (l nombre fini).
Une suite numérique (un) est divergente si elle n'est pas convergente.
Une suite croissante majorée est convergente.
Une suite décroissante minorée est convergente.
Limite d'une suite associée à une fonction
Soit f une fonction numérique définie sur [0;+∞[ et (un) une suite définie par :
un = f(n).
Alors
lim n→+∞ un = lim n→+∞ f(x)
Cela veut dire que vous pouvez calculer la limite d'une suite (un) définie en fonction de n en suivant les mêmes règles que celles appliquées sur les limites de fonctions à l'infini.
Exemple
Soit par exemple la suite numérique (un) définie par
un = n + 1 n2 + 2
La limite (un) est
Limite d'une suite géométrique
La limite de (q)n (avec q ≠ 0) est comme suit :
| q | lim n→+∞ (q)n |
|---|---|
| -1 < q < 1 | 0 |
| 1 | 1 |
| q > 1 | +∞ |
| q < -1 | aucune limite |
Exemple
Reprenons l'exemple de la suite numérique (un) définie par
u0 = 5 un+1 = 1 2 un + 3 2
Nous avons démontré que (un) est minorée par 3 et que (un) est décroissante. Donc (un) est convergente.
Pour calculer la limite de (un) nous avons besoin de son expression en fonction de n. Pour trouver cette expression, on procède de cette manière (exercice typique en bac).
Soit la suite (vn) définie par :
vn = un - 3
- Calculer v0.
- Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 1 2 .
- Déterminer l'expression de (vn) en fonction de n
- Déterminer l'expression de (un) en fonction de n
- Calculer la limite de (un).
1 - Calcul de v0
v0 = u0 - 3 = 5 - 3 = 2
2 - Montrons que (vn) est une suite géométrique de raison 1 2
Donc (vn) est une suite géométrique de raison 1 2
3 - Expression de (vn) en fonction de n
(vn) est une suite géométrique de raison 1 2 . Donc
vn = v0 ( 1 2 )n = 2 ( 1 2 )n
4 - Expression de (un) en fonction de n
un = vn + 3 = 2 ( 1 2 )n + 3
5 - Limite de (un)
La limite d'une suite géométrique qn avec q compris entre -1 et 1 est égale à 0. Donc
lim n→+∞ un = lim n→+∞ (2 ( 1 2 )n + 3) = 3
Théorème de Gendarme
Théorème
(un), (vn) et (wn) sont des suites numériques. Si à partir d'un certain rang
vn < un < wn
et
lim n→+∞ vn = lim n→+∞ wn = l
Alors, (un) est convergente et
lim n→+∞ un = l
Théorème
(un) et (vn) sont des suites numériques. Si à partir d'un certain rang
un < vn
et
lim n→+∞ vn = -∞
Alors
lim n→+∞ un = -∞
Et si à partir d'un certain rang
un > vn
et
lim n→+∞ vn = +∞
Alors
lim n→+∞ un = +∞
Théorème
(un) et (vn) sont des suites numériques et l un nombre réel. Si à partir d'un certain rang
| un - l | < vn
et
lim n→+∞ vn = 0
Alors, (un) est convergente et
lim n→+∞ un = l
Exemple
Calculons par exemple la limite de la suite numérique (un) définie par
un = (-1)n n2 + 2
Or (-1)n n'a pas de limite (Cas d'une limite géométrique avec q≤-1). Mais
-1 ≤ (-1)n ≤ 1
Donc
-1 n2 + 2 ≤ (-1)n n2 + 2 ≤ 1 n2 + 2
Et
lim n→+∞ -1 n2 + 2 = lim n→+∞ 1 n2 + 2 = 0
D'après le théorème de Gendarme
lim n→+∞ (-1)n n2 + 2 = 0