Baccalauréat Image d'un intervalle
Image d'un intervalle par une fonction numérique
Il faut pouvoir déterminer l'image d'un intervalle par une fonction numérique à partir de
- sa représentation graphique
- son tableau de variation
Exemple - Représentation graphique
Soit la fonction f représentée par la courbe suivante:
L'image de l'intervalle [-5;-4] par la fonction f est : f([-5;-4]) = [5;12]
L'image de l'intervalle [0;3] par la fonction f est : f([0;3]) = [-3;12]
Exemple - Tableau de variation
Soit la fonction f ayant pour tableau de variation:
L'image de l'intervalle ]-∞;-2] par la fonction f est : f(]-∞;-2]) = [0;1[
L'image de l'intervalle [-2;5] par la fonction f est : f([-2;5]) = ]-∞;3]
L'image de l'intervalle [5;+∞] par la fonction f est : f([5;+∞]) = ]2;3]
Image d'un intervalle par une fonction continue
Théorème
L'image d'un intervalle par une fonction continue sur cet intervalle est un intervalle.
Image d'un intervalle par une fonction continue et monotone
Une fonction monotone sur un intervalle est une fonction soit croissante soit décroissante sur cet intervalle.
Image d'un intervalle par une fonction continue et croissante
| Intervalle | Image par la fonction f |
| [a;b] | [f(a);f(b)] |
| [a;b[ | [f(a); lim x→b f(x)[ |
| ]a;b[ | ] lim x→a f(x); lim x→b f(x)[ |
| ]-∞;+∞[ | ] lim x→-∞ f(x); lim x→+∞ f(x)[ |
Image d'un intervalle par une fonction continue et décroissante
| Intervalle | Image par la fonction f |
| [a;b] | [f(b);f(a)] |
| [a;b[ | ] lim x→b f(x);f(a)] |
| ]a;b[ | ] lim x→b f(x); lim x→a f(x)[ |
| ]-∞;+∞[ | ] lim x→+∞ f(x); lim x→-∞ f(x)[ |
Exercices corrigés - Image d'un intervalle par une fonction numérique