Baccalauréat Logarithme de base a
Définition
Une fonction logarithme de base a (a ∈ ℝ+-{1}), notée loga, est définie sur ]0;+∞[ par
loga(x) = ln(x) ln(a)
La fonction logarithme népérien est la fonction logarithme de base e, car ln(e) = 1.
Exemple
Il est utilisé principalement le logarithme de base 10 appelé le logarithme décimal, que l'on note log10 ou bien log.
La fonction log est l'inverse de la fonction puissance de 10. C'est à dire de la fonction définie par 10x.
log(10) = 1
log(1 000) = 3
log(0,01) = -2
Propriétés
A bien connaître que ∀ a ∈ ℝ-{1} :
loga(1) = 0
loga(a) = 1
La fonction logarithme de base a est
- strictement croissante sur l'intervalle ]0;+∞[ si a > 1.
- strictement décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[ si a < 1.
Donc
x = y ⇔ loga(x) = loga(y)
Si a > 1 alors 0 < x < y ⇔ loga(x) < loga(y)
Si a < 1 alors 0 < x < y ⇔ loga(x) > loga(y)
Donc
x = 1 ⇔ loga(x) = 0
Si a > 1 alors 0 < x < 1 ⇔ loga(x) < 0 et x > 1 ⇔ loga(x) > 0
Si a < 1 alors 0 < x < 1 ⇔ loga(x) > 0 et x > 1 ⇔ loga(x) < 0
Autre propriétés
loga(xy) = loga(x) + loga(y)
loga(
1
x
) = -loga(x)
loga(
x
y
) = loga(x) - loga(y)
loga(xn) = n loga(x)
loga(√x) =
1
2
loga(x)
Exemples
Calculer
log(1 000) + 3 log(100) - 4 log(0,01)
Résoudre l'équation
log(x + 1) = log(4 - x)
L'équation est définie si
x + 1 > 0 ⇒ x > -1
et
4 - x > 0 ⇒ x < 4
L'équation est définie sur ]-1;4[
Or
3 2 ∈ ]-1;4[
L'ensemble de solutions de l'équation est S = { 3 2 }
Limites usuelles
Limites à droite de 0
lim
x→0
x > 0
loga(x) = -∞ si a > 1
et
lim
x→0
x > 0
loga(x) = +∞ si a < 1
lim x→0 x > 0 xn loga(x) = 0 (n ∈ ℕ*)
Limites en +∞
lim
x→+∞
loga(x) = +∞ si a > 1
et
lim
x→+∞
loga(x) = -∞ si a < 1
lim x→+∞ loga(x) xn = 0 (n ∈ ℕ*)
Limites en 1
lim x→1 loga(x) x - 1 = 1 ln(a)
NB. Cette limite n'est autre que la dérivée de la fonction logarithme de base a en 1.
A retenir également une variante de cette limite que l'on peut en déduire simplement par changement de variable :
lim x→0 loga(x + 1) x = 1 ln(a)
Dérivée de la fonction Logarithme de base a
La fonction dérivée de la fonction logarithme de base a est la fonction définie sur ]0;+∞[ par
f(x) = 1 ln(a) x
(loga(u(x))) ' = u '(x) ln(a) u(x)
Exemple
Calculons la dérivée de la fonction f définie par
f(x) = log(x2 + 2x + 2)
f '(x) = (x2 + 2x + 2) ' ln(10) log(x2 + 2x + 2) = 2x + 2 ln(10) log(x2 + 2x + 2)
Branches infinies
Nous avons vu la limite à droite de 0
lim
x→0
x > 0
loga(x) = -∞ si a > 1
et
lim
x→0
x > 0
loga(x) = +∞ si a < 1
La courbe représentative de la fonction logarithme de base a admet une asymptote verticale d'équation x = 0 (Axe des ordonnées).
Concernant les limites au voisinage de +∞
lim
x→+∞
loga(x) = +∞ si a > 1
et
lim
x→+∞
loga(x) = -∞ si a < 1
lim x→+∞ loga(x) x = 0
La courbe représentative de la fonction logarithme de base a admet une branche parabolique de direction asymptotique l'axe des abscisses au voisinage de +∞.
Tableau de variation
Si a > 1, le tableau de variation de la fonction logarithme de base a est comme suit :
Si a < 1, le tableau de variation de la fonction logarithme de base a est comme suit :
Courbe représentative de la fonction Logarithme de base a
Si a > 1, la courbe représentative de la fonction logarithme de base a est de la forme (représenté le logarithme de base 10) :
Si a < 1, la courbe représentative de la fonction logarithme de base a est de la forme (représenté le logarithme de base 0.1) :
