الباكالوريا تمارين 1 - نهايات الدوال
راجع الدرس حساب نهايات الدوال
صفحات أخرى لتمارين حول نهايات الدوال
تمرين 1
احسب النهاية في ∞- و ∞+ للدالة f المعرفة ب
f(x) = x2(1 - x)(x + 2)
تصحيح
| lim x→-∞ f(x) | = lim x→-∞ x2(1 - x)(x + 2) | |
| = -∞ |
| lim x→+∞ f(x) | = lim x→+∞ x2(1 - x)(x + 2) | |
| = -∞ |
تمرين 2
احسب النهاية في 1- للدالة f المعرفة ب
f(x) = x2 + 2x + 2 x + 1
تصحيح
إذا استبدلت بـ 1- في المقام، أجد 0. إذن تختلف نتيجة النهاية على يمين ويسار 1-.
| lim x→-1 x < -1 f(x) | = lim x→-1 x < -1 x2 + 2x + 2 x + 1 | |
| = -∞ (لأن x+1<0 في حالة x<-1) |
| lim x→-1 x > -1 f(x) | = lim x→-1 x > -1 x2 + 2x + 2 x + 1 | |
| = +∞ (لأن x+1>0 في حالة x>-1) |
تمرين 3
احسب النهاية في 2 للدالة f المعرفة ب
f(x) = (3 - x)(1 - x) x - 2
تصحيح
إذا استبدلت بـ 2 في المقام، أجد 0. إذن تختلف نتيجة النهاية على يمين ويسار 2.
| lim x→2 x < 2 f(x) | = lim x→2 x < 2 (3 - x)(1 - x) x - 2 | |||||||||||||
| = +∞ | (= -1 0- =+∞ | إذن | . x<2 | في حالة | x-2<0 | لأن) |
| lim x→2 x > 2 f(x) | = lim x→2 x > 2 (3 - x)(1 - x) x - 2 | |||||||||||||
| = -∞ | (= -1 0+ =-∞ | إذن | . x>2 | في حالة | x-2>0 | لأن) |
تمرين 4
احسب النهاية في 1 للدالة f المعرفة ب
f(x) = √x + 3 - 3 1 - x
تصحيح
إذا استبدلت بـ 1 في المقام، أجد 0. إذن تختلف نتيجة النهاية على يمين ويسار 1.
| lim x→1 x < 1 f(x) | = lim x→1 x < 1 √x + 3 - 3 1 - x | |||||||||||||
| = -∞ | (= -1 0+ =-∞ | إذن | . x<1 | في حالة | 1-x>0 | لأن) |
| lim x→1 x > 1 f(x) | = lim x→1 x > 1 √x + 3 - 3 1 - x | |||||||||||||
| = +∞ | (= -1 0- =+∞ | إذن | . x>1 | في حالة | 1-x<0 | لأن) |
تمرين 5
احسب النهاية في 1 للدالة f المعرفة ب
f(x) = √3x - 2 (x - 1)2
تصحيح
هنا، نتيجة النهاية لا تختلف عن يمين ويسار 1. المقام هو مربع، وبالتالي موجب دائمًا.
| lim x→1 f(x) | = lim x→1 √3x - 2 (x - 1)2 | |
| = +∞ ( 1 0+ =+∞ لأن) |
تمرين 6
احسب النهاية في 3 للدالة f المعرفة ب
f(x) = x |x - 3|
تصحيح
هنا نتيجة النهاية لا تختلف عن يمين ويسار 3. المقام هو قيمة مطلقة، وبالتالي موجب دائمًا.
| lim x→3 f(x) | = lim x→3 x |x - 3| | |
| = +∞ ( 3 0+ =+∞ لأن) |
تمرين 7
احسب النهاية في 2- للدالة f المعرفة ب
f(x) = 2 x + 2 + x - 2 x2 - 4
تصحيح
تختلف نتيجة النهاية على يمين ويسار 2-.
لندرس علامة f(x) في حالة x<-2
| x < -2 | ⇒ x + 2 < 0 |
| x < -2 | ⇒ -x > 2 | |
| ⇒ x2 > 4 | ||
| ⇒ x2 - 4 > 0 |
إذن
| lim x→-2 x < -2 f(x) | = lim x→-2 x < -2 2 x + 2 + x - 2 x2 - 4 | |||
| = -∞ (2/0- + -4/0+ = -∞ -∞ = -∞ | لأن) |
| lim x→-2 x > -2 f(x) | = lim x→-2 x > -2 2 x + 2 + x - 2 x2 - 4 | |||
| = +∞ (2/0+ + -4/0- = +∞ +∞ = +∞ | لأن) |
في هذه الحالة، يمكننا أيضًا استعمال التبسيط:
| lim x→-2 x < -2 f(x) | = lim x→-2 x < -2 2 x + 2 + x - 2 x2 - 4 | |
| = lim x→-2 x < -2 2 x + 2 + x - 2 (x - 2)(x + 2) | ||
| = lim x→-2 x < -2 2 x + 2 + 1 x + 2 | ||
| = -∞ |
| lim x→-2 x > -2 f(x) | = lim x→-2 x > -2 2 x + 2 + x - 2 x2 - 4 | |
| = lim x→-2 x > -2 2 x + 2 + x - 2 (x - 2)(x + 2) | ||
| = lim x→-2 x > -2 2 x + 2 + 1 x + 2 | ||
| = +∞ |