الباكالوريا حساب نهايات الدوال

العنصر 2 لا ينتمي إلى Df، لكن الدالة معرفة بالقرب على يمين 2. لذلك يمكننا الحديث عن نهاية f على يمين 2 التي تكتب lim x→2+ أو lim x→2 x > 2 .

بالمقابل، لا ينبغي على سبيل المثال الحديث عن نهاية f في 1 أو في ∞-؛ لأن الدالة f غير معرفة بالقرب من هذه النقاط.

لحساب نهاية دالة عددية في عنصر x₀، قم بتعويض قيمة x₀ في صيغة f(x) واحسب مع مراعاة القواعد الخاصة الموضحة أدناه.

مثال :

نعتبر الدالة العددية f المعرفة كما يلي

f(x) = x² – 3 x / x – 1

لنحسب على سبيل المثال نهاية f في 2. للقيام بذلك، قم بإجراء الحساب:

2² – 3 . 2 / 2 – 1 = 4 – 6 = -2

واكتب

lim x→2 f(x) = lim x→2 x² – 3 x / x – 1 = -2

نهايات مجاميع

احفظ جيدا :

• الإضافة إلى ∞+ لعدد حقيقي أو ∞+ يعطي دائمًا ∞+
• الإضافة إلى ∞- لعدد حقيقي أو ∞- يعطي دائمًا ∞-
• ملحوظة: إضافة ∞+ مع ∞- هي صيغة غير محددة

نهايات جداءات

ضرب ∞ في ∞ أو في عدد حقيقي غير صفري يعطي دائمًا ∞. لمعرفة ما إذا كانت ∞+ أو ∞-، علينا تحديد إشارة الصيغة المعطاة. على سبيل المثال:

lim x→-∞ -2(1-x)(x-4)

إذن :

lim x→-∞ -2(1-x)(x-4) = +∞

ملحوظة: ضرب ∞ في 0 يعطي صيغة غير محددة

احفظ جيدا :

lim x→+∞ xⁿ = +∞

lim x→+∞ axⁿ = +∞ (إذا كان a>0)

lim x→+∞ axⁿ = -∞ (إذا كان a<0)

lim x→-∞ xⁿ = +∞ (إذا كان n عدد زوجي)

lim x→-∞ xⁿ = -∞ (إذا كان n عدد فردي)

lim x→-∞ axⁿ = +∞ (إذا كان a>0 و n عدد زوجي أو a<0 و n عدد فردي)

lim x→-∞ axⁿ = -∞ (إذا كان a<0 و n عدد زوجي أو a>0 و n عدد فردي)

احفظ كذلك :

lim x→+∞ √x = +∞

نهايات الكسور

ملحوظة: الصيغ الغير محددة بالنسبة للقسمة هي : 0 / 0 و ∞ / ∞ .

القسمة على 0

عند قسمة عدد حقيقي غير صفري أو ما لا نهاية على 0، نحصل على ما لا نهاية. لمعرفة ما إذا كانت ∞+ أو ∞-، علينا تحديد إشارة الصيغة المعطاة. لنأخذ على سبيل المثال الدالة العددية f المعرفة كما يلي:

f(x) = 1 / x-1

لنحسب نهاية f في 1.

بالقرب من 1، يمكن أن تكون f(x) موجبة أو سالبة اعتمادًا على ما إذا كانت x أكبر أو أقل من 1. وبالتالي فإن الدالة f ليس لها نفس النهاية على يمين وعلى يسار العدد 1.

lim x→1 x < 1 f(x) = -∞. (إذا كان x<1 فإن x-1<0)

lim x→1 x > 1 f(x) = +∞. (إذا كان x>1 فإن x-1>0)

مثال آخر

لنعتبر الدالة العددية f المعرفة كما يلي:

f(x) = x – 2 / (x-1)(-x + 3)

لنحسب نهاية f في 1.

بالتعويض بـ 1 في f(x) نجد :

-1 / 0 . 2

عندما يكون x<1، فإن النهاية تعطي 1- / -0 . 2 . حيث 0- تعني قيمة قريبة جدًا من 0 وسالبة.

عندما يكون x>1، فإن النهاية تعطي 1- / +0 . 2 . حيث 0+ تعني قيمة قريبة جدًا من 0 وموجبة.

إذن

lim x→1 x < 1 f(x) = lim x→1 x < 1 x – 2 / (x-1)(-x + 3) = +∞.

lim x→1 x > 1 f(x) = lim x→1 x > 1 x – 2 / (x-1)(-x + 3) = -∞.

تمارين مصححة 1 - نهايات الدوال

الصيغ الغير محددة

4 أشكال من الصيغ تسمى صيغ غير محددة :

• +∞ + -∞
• ∞ . 0
• ∞ / ∞
• 0 / 0

وهذا يعني أنه بالنسبة لنفس الصيغة الغير محددة، فإن نتيجة النهاية تختلف من حالة إلى أخرى.

للعثور على نتيجة النهاية لهذه الحالات، يجب علينا تحويل الصيغة الغير محددة إلى صيغة محددة. نقول أنه يجب إزالة عدم التحديد. للقيام بذلك، نلجأ إلى :

• التعميل
• التبسيط
• الضرب في الصيغة المرافقة

أمثلة التعميل

1 - حالة النهاية في ∞ للدوال كثيرة الحدود

لنعتبر الدالة العددية f المعرفة كما يلي:

f(x) = 2x³ – 3x² + 4

لنحسب نهاية f عند ∞+. لدينا الصيغة الغير محددة ∞+ ∞-.

لإزالة عدم التحديد، فمن المناسب أن التعميل ب 2x³.

بشكل عام، نهاية كثيرة الحدود عند اللانهاية تساوي نهاية حدها الأعلى. يمكننا أن نكتب مباشرة:

lim x→+∞ (2x³ – 3x² + 4) = lim x→+∞ 2x³ = +∞

lim x→-∞ (5 - 7x³ – 3x⁴) = lim x→-∞ (- 3x⁴) = -∞

2 - حالة النهاية في ∞ للدوال الكسرية

لنحسب على سبيل المثال النهاية في ∞+ للدالة f المعرفة كما يلي :

f(x) = 2x³ – 3x² + 4 / 5x² - 3x + 5

لإزالة عدم التحديد، من المناسب تعميل البسط ب 2x³ والمقام ب 5x². ثم يجب التبسيط ب x².

بشكل عام، نهاية دالة كسرية عند اللانهاية تساوي نهاية قسمة الحد الأعلى للبسط على الحد الأعلى للمقام. يمكننا أن نكتب مباشرة :

lim x→+∞ 2x³ – 3x² + 4 / 5x² - 3x + 5 = lim x→+∞ 2x³ / 5x² = lim x→+∞ 2 / 5 x = +∞

lim x→+∞ 5 - 7x³ – 3x⁴ / x⁵ – 2x² + 3 = lim x→+∞ - 3x⁴ / x⁵ = lim x→+∞ -3 / x = 0

lim x→+∞ 2x³ – 3x² + 4 / 5x³ - 3x + 5 = lim x→+∞ 2x³ / 5x³ = 2 / 5

3 - حالات أخرى للتعميل

إذن، رأينا أنه يمكننا استخدام الحد الأعلى لتحديد النهايات عند ما لا نهاية للدوال كثيرة الحدود والدوال الكسرية، وهو ما يوفر علينا إجراء التعميل. لكن علينا إجراء التعميل في حالات أخرى. لنعتبر الدالة f المعرفة كما يلي :

تمارين مصححة 2 - نهايات الدوال

مثال للتبسيط

لنعتبر الدالة العددية f المعرفة كما يلي :

f(x) = x² – 1 / 2x² + 2x – 4

لنحسب نهاية f عند 1.

لدينا الصيغة الغير محددة 0 / 0 .

أذكر أنه إذا كانت كثيرة الحدود تساوي صفرا عند النقطة x₀، فإذن يمكن تعميلها ب x – x₀.

في الحالة الحالية، من المناسب تعميل البسط والمقام ب x–1 ثم التبسيط ب x–1 لإزالة عدم التحديد.

تمارين مصححة 3 - نهايات الدوال

الضرب في الصيغة المرافقة

1 - مثال

لنعتبر الدالة العددية f المعرفة كما يلي :

لنحسب نهاية f عند 1.

لدينا أيضا الصيغة الغير محددة 0 / 0 .

هنا أيضًا، يجب علينا التبسيط ب x–1 لإزالة عدم التحديد.

فيما يتعلق بالمقام المعطى، يمكننا كتابة x² + 2x – 3 = (x - 1)(x + 3)

لكي يظهر العامل x–1 في البسط، يجب الضرب في الصيغة المرافقة √x + 3 + 2.

2 - مثال آخر

لنعتبر الدالة العددية f المعرفة كما يلي :

لنحسب نهاية f عند +∞.

لدينا الصيغة الغير محددة +∞ -∞.

لإزالة عدم التحديد، يمكننا التفكير في التعميل ب x. ولكن، يمكنك التحقق من ذلك، سيكون لديك صيغة آخرى غير محددة وهي ∞ . 0.

الحل هو استخدام الصيغة المرافقة.

تمارين مصححة 4 - نهايات الدوال