Baccalauréat Exercices 1 - Limites de fonctions
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Exercice 1
Calculer les limites en -∞ et +∞ pour la fonction f définie par
f(x) = x2(1 - x)(x + 2)
Solution
| lim x→-∞ f(x) | = lim x→-∞ x2(1 - x)(x + 2) | |
| = -∞ |
| lim x→+∞ f(x) | = lim x→+∞ x2(1 - x)(x + 2) | |
| = -∞ |
Exercice 2
Calculer la limite en -1 pour la fonction f définie par
f(x) = x2 + 2x + 2 x + 1
Solution
Si je remplace par -1 au dénominateur, je trouve 0. Le résultat de la limite est différent à droite et à gauche de -1.
| lim x→-1 x < -1 f(x) | = lim x→-1 x < -1 x2 + 2x + 2 x + 1 | |
| = -∞ (Car x + 1 < 0 lorsque x < -1) |
| lim x→-1 x > -1 f(x) | = lim x→-1 x > -1 x2 + 2x + 2 x + 1 | |
| = +∞ (Car x + 1 > 0 lorsque x > -1) |
Exercice 3
Calculer la limite en 2 pour la fonction f définie par
f(x) = (3 - x)(1 - x) x - 2
Solution
Si je remplace par 2 au dénominateur, je trouve 0. Le résultat de la limite est différent à droite et à gauche de 2.
| lim x→2 x < 2 f(x) | = lim x→2 x < 2 (3 - x)(1 - x) x - 2 | |
| = +∞ (Car x - 2 < 0 lorsque x < 2. Donc = -1/0- = +∞) |
| lim x→2 x > 2 f(x) | = lim x→2 x > 2 (3 - x)(1 - x) x - 2 | |
| = -∞ (Car x - 2 > 0 lorsque x > 2. Donc = -1/0+ = -∞) |
Exercice 4
Calculer la limite en 1 pour la fonction f définie par
f(x) = √x + 3 - 3 1 - x
Solution
Si je remplace par 1 au dénominateur, je trouve 0. Le résultat de la limite est différent à droite et à gauche de 1.
| lim x→1 x < 1 f(x) | = lim x→1 x < 1 √x + 3 - 3 1 - x | |
| = -∞ (Car 1 - x > 0 lorsque x < 1. Donc = -1/0+ = -∞) |
| lim x→1 x > 1 f(x) | = lim x→1 x > 1 √x + 3 - 3 1 - x | |
| = +∞ (Car 1 - x < 0 lorsque x > 1. Donc = -1/0- = +∞) |
Exercice 5
Calculer la limite en 1 pour la fonction f définie par
f(x) = √3x - 2 (x - 1)2
Solution
Ici, le résultat de la limite n'est pas différent à droite et à gauche de 1. Le dénominateur est un carré, donc toujours positif.
| lim x→1 f(x) | = lim x→1 √3x - 2 (x - 1)2 | |
| = +∞ (Car 1/0+ = +∞) |
Exercice 6
Calculer la limite en 3 pour la fonction f définie par
f(x) = x |x - 3|
Solution
Ici, le résultat de la limite n'est pas différent à droite et à gauche de 3. Le dénominateur est une valeur absolue, donc toujours positif.
| lim x→3 f(x) | = lim x→3 x |x - 3| | |
| = +∞ (Car 3/0+ = +∞) |
Exercice 7
Calculer la limite en -2 pour la fonction f définie par
f(x) = 2 x + 2 + x - 2 x2 - 4
Solution
Le résultat de la limite est différent à droite et à gauche de -2.
Etudions le signe de f(x) lorsque x < -2
| x < -2 | ⇒ x + 2 < 0 |
| x < -2 | ⇒ -x > 2 | |
| ⇒ x2 > 4 | ||
| ⇒ x2 - 4 > 0 |
Donc
| lim x→-2 x < -2 f(x) | = lim x→-2 x < -2 2 x + 2 + x - 2 x2 - 4 | |
| = -∞ (Car 2/0- + -4/0+ = -∞ -∞ = -∞) |
| lim x→-2 x > -2 f(x) | = lim x→-2 x > -2 2 x + 2 + x - 2 x2 - 4 | |
| = +∞ (Car 2/0+ + -4/0- = +∞ +∞ = +∞) |
Pour ce cas, nous pouvons également procéder par simplification:
| lim x→-2 x < -2 f(x) | = lim x→-2 x < -2 2 x + 2 + x - 2 x2 - 4 | |
| = lim x→-2 x < -2 2 x + 2 + x - 2 (x - 2)(x + 2) | ||
| = lim x→-2 x < -2 2 x + 2 + 1 x + 2 | ||
| = -∞ |
| lim x→-2 x > -2 f(x) | = lim x→-2 x > -2 2 x + 2 + x - 2 x2 - 4 | |
| = lim x→-2 x > -2 2 x + 2 + x - 2 (x - 2)(x + 2) | ||
| = lim x→-2 x > -2 2 x + 2 + 1 x + 2 | ||
| = +∞ |