Baccalauréat Calcul des limites de fonctions
Nous calculons les limites d’une fonction numérique en un élément de l’ensemble ℝ ou bien -∞ ou +∞. La fonction en question doit être définie au voisinage de l’élément. Par exemple :
Soit une fonction f ayant pour domaine de définition : Df = ]2 ; +∞[
L’élément 2 n’appartient pas à Df, mais la fonction est définie au voisinage à droite de 2. Nous pouvons donc parler de la limite de f à droite de 2 que l’on note lim x→2+ ou bien lim x→2 x > 2
Par contre, il ne faut pas parler par exemple de la limite de f en 1 ou en -∞ ; la fonction f n’est définie au voisinage de ces points.
Pour calculer la limite d’une fonction numérique en un élément x0, remplacer la valeur de x0 dans l’expression f(x) et calculer en tenant compte des règles particulières décrites ci-dessous.
Exemple :
Soit la fonction numérique f définie par
f(x) = x2 – 3 x x – 1
Calculons la limite de f en 2 par exemple. Pour cela faite le calcul au brouillon :
22 – 3 . 2 2 – 1 = 4 – 6 = -2
Ecrivez
lim x→2 f(x) = lim x→2 x2 – 3 x x – 1 = -2
Limites de Sommes
| lim f(x) | lim g(x) | lim f(x)+g(x) = lim g(x)+f(x) |
Exemples |
|---|---|---|---|
| +∞ | un réel | +∞ | lim x→+∞ (x + 2) = +∞ + 2 = +∞ |
| -∞ | un réel | -∞ | lim x→-∞ (x + 2) = -∞ + 2 = -∞ |
| +∞ | +∞ | +∞ | lim x→+∞ (x2 + x) = +∞ + +∞ = +∞ |
| -∞ | -∞ | -∞ | lim x→-∞ (x3 + x) = -∞ + -∞ = -∞ |
Retenez donc :
- L’ajout à +∞ d’un réel ou de +∞ donne toujours +∞
- L’ajout à -∞ d’un réel ou de -∞ donne toujours -∞
- NB. L’ajout de +∞ et -∞ est une forme indéterminée
Limites de Produits
| lim f(x) | lim g(x) | lim f(x).g(x) = lim g(x).f(x) |
Exemples |
|---|---|---|---|
| +∞ | un réel positif non nul | +∞ | lim x→+∞ 2x = 2 . +∞ = +∞ |
| +∞ | un réel négatif non nul | -∞ | lim x→+∞ (-2x) = -2 . +∞ = -∞ |
| -∞ | un réel positif non nul | -∞ | lim x→-∞ 2x = 2 . -∞ = -∞ |
| -∞ | un réel négatif non nul | +∞ | lim x→-∞ (-2x) = -2 . -∞ = +∞ |
| +∞ | +∞ | +∞ | lim x→+∞ x2 = +∞ . +∞ = +∞ |
| -∞ | -∞ | +∞ | lim x→-∞ x2 = -∞ . -∞ = +∞ |
| +∞ | -∞ | -∞ | lim x→+∞ x(1-x) = +∞ . -∞ = -∞ |
La multiplication de ∞ par ∞ ou par un réel non nul donne toujours ∞. Pour trouver si c’est +∞ ou -∞, alors il faut déterminer le signe de l’expression donnée. Soit par exemple :
lim x→-∞ -2(1-x)(x-4)
| Limite | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| lim x→-∞ (1-x) | 1 - (-∞) = 1 + +∞ | +∞ |
| lim x→-∞ (x-4) | -∞ - 4 | -∞ |
| lim x→-∞ -2(1-x)(x-4) | -2 . +∞ . -∞ | +∞ |
Donc :
lim x→-∞ -2(1-x)(x-4) = +∞
NB. La multiplication de ∞ et 0 est une forme indéterminée
Retenez bien :
lim x→+∞ xn = +∞
lim x→+∞ axn = +∞ si a>0
lim x→+∞ axn = -∞ si a<0
lim x→-∞ xn = +∞ si n est paire
lim x→-∞ xn = -∞ si n est impaire
lim x→-∞ axn = +∞ si a>0 et n paire ou bien a<0 et n impaire
lim x→-∞ axn = -∞ si a<0 et n paire ou bien a>0 et n impaire
Retenez également que :
lim x→+∞ √x = +∞
Limites de Quotients
| lim f(x) | lim g(x) | lim f(x) g(x) | Exemples |
|---|---|---|---|
| Un réel non nul ou ∞ | 0 | ∞ | Division par 0 |
| +∞ | un réel positif | +∞ | lim x→+∞ x 2 = +∞ 2 = +∞ |
| +∞ | un réel négatif | -∞ | lim x→+∞ x -2 = +∞ -2 = -∞ |
| -∞ | un réel positif | -∞ | lim x→-∞ x 2 = -∞ 2 = -∞ |
| -∞ | un réel négatif | +∞ | lim x→-∞ x -2 = -∞ -2 = +∞ |
| Un réel | ∞ | 0 | lim x→+∞ 2 x = 2 +∞ = 0 |
NB. Les formes indéterminées pour les quotients sont : 0 0 et ∞ ∞ .
Division par 0
En cas de division d’un nombre réel non nul ou bien l’infini par 0, on obtient l’infini. Pour trouver si c’est +∞ ou -∞, alors il faut déterminer le signe de l’expression donnée. Soit par exemple, la fonction numérique f définie par :
f(x) = 1 x-1
Calculons la limite de f en 1.
Au voisinage de 1, f(x) peut être positif ou négatif selon si x est supérieur ou inférieur à 1. La fonction f n’a pas donc la même limite à droite et à gauche de 1.
lim x→1 x < 1 f(x) = -∞. Car lorsque x<1, alors x-1<0
lim x→1 x > 1 f(x) = +∞. Car lorsque x>1, alors x-1>0
Autre exemple
Soit la fonction numérique f définie par :
f(x) = x – 2 (x-1)(-x + 3)
Calculons la limite de f en 1.
En remplaçant par 1 dans f(x), on trouve :
-1 0 . 2
Lorsque x<1, la limite donne -1 0- . 2 . Où 0- signifie une valeur très proche de 0 et négative.
Lorsque x>1, la limite donne -1 0+ . 2 . Où 0+ signifie une valeur très proche de 0 et positive.
Donc
lim x→1 x < 1 f(x) = lim x→1 x < 1 x – 2 (x-1)(-x + 3) = +∞.
lim x→1 x > 1 f(x) = lim x→1 x > 1 x – 2 (x-1)(-x + 3) = -∞.
Exercices corrigés 1 - Limites de fonctions
Les formes indéterminées
4 formes sont dites indéterminées :
- +∞ + -∞
- ∞ . 0
- ∞ ∞
- 0 0
Cela signifie que pour une même forme indéterminée, le résultat de la limite est différent d'un cas à l'autre.
Pour trouver le résultat de la limite pour ces cas, il faut transformer l’expression en formes non indéterminées. Nous disons qu'il faut lever l'indétermination. Pour cela, on procède par :
- Factorisation
- Simplification
- Multiplication par la forme conjuguée
Exemples de factorisation
1 - Cas de la limite en ∞ des fonctions polynomiales
Soit par exemple une fonction f définie par :
f(x) = 2x3 – 3x2 + 4
Calculons la limite de f en +∞. Nous avons bien la forme indéterminée +∞ -∞.
Pour lever l’indétermination, il convient de factoriser par 2x3.
| lim x→+∞ f(x) | = lim x→+∞ (2x3 – 3x2 + 4) | |||||||
|
||||||||
| = lim x→+∞ 2x3 | ||||||||
| = +∞ |
De manière générale, la limite d’un polynôme en l’infini est égale à la limite de son monôme de plus haut degré. Nous pouvons écrire directement :
lim x→+∞ (2x3 – 3x2 + 4) = lim x→+∞ 2x3 = +∞
lim x→-∞ (5 - 7x3 – 3x4) = lim x→-∞ (- 3x4) = -∞
2 - Cas de la limite en ∞ des fonctions rationnelles
Calculons par exemple la limite en +∞ de la fonction f définie par :
f(x) = 2x3 – 3x2 + 4 5x2 - 3x + 5
Pour lever les indéterminations, il convient de factoriser le numérateur par 2x3 et le dénominateur par 5x2. Ensuite, il faut simplifier par x2.
De manière générale, la limite d’une fonction rationnelle en l’infini est égale à la limite du quotient du monôme de plus haut degré du numérateur sur le monôme de plus haut degré du dénominateur. Nous pouvons écrire directement :
lim x→+∞ 2x3 – 3x2 + 4 5x2 - 3x + 5 = lim x→+∞ 2x3 5x2 = lim x→+∞ 2 5 x = +∞
lim x→+∞ 5 - 7x3 – 3x4 x5 – 2x2 + 3 = lim x→+∞ - 3x4 x5 = lim x→+∞ -3 x = 0
lim x→+∞ 2x3 – 3x2 + 4 5x3 - 3x + 5 = lim x→+∞ 2x3 5x3 = 2 5
3 - Autres cas de factorisation
Donc, nous avons vu que nous pouvons utiliser les monômes de plus haut degré pour déterminer les limites en l’infini pour les fonctions polynômes et les fonctions rationnelles ce qui nous épargne de faire la factorisation. Mais, nous avons besoin de faire cette factorisation pour d’autres cas. Soit la fonction f définie par :
Exercices corrigés 2 - Limites de fonctions
Exemple de simplification
Soit la fonction f définie par :
f(x) = x2 – 1 2x2 + 2x – 4
Calculons la limite en 1.
Nous avons ici la forme indéterminée 0 0 .
Je rappelle que si un polynôme s’annule en un point x0, alors il peut être factorisé par x – x0.
Dans le cas actuel, il convient de factoriser le numérateur et le dénominateur par x – 1 et de simplifier ensuite par x – 1 pour lever l’indétermination.
| lim x→1 f(x) | = lim x→1 x2 – 1 2x2 + 2x – 4 |
| = lim x→1 (x – 1)(x+1) 2(x – 1)(x + 2) | |
| = lim x→1 x+1 2(x + 2) | |
| = 1 3 |
Exercices corrigés 3 - Limites de fonctions
Multiplication par la forme conjuguée
1 - Exemple
Soit la fonction f définie par :
Calculons la limite en 1.
Nous avons encore la forme indéterminée 0 0 .
Là également, il faut simplifier par x – 1 pour lever l'indétermination.
En ce qui concerne le dénominateur donnée, nous pouvons écrire x2 + 2x – 3 = (x - 1)(x + 3)
Pour faire apparaître le facteur x – 1 au numérateur, il faut multiplier par la forme conjuguée √x + 3 + 2.
2 - Autre exemple
Soit la fonction f définie par :
Calculons la limite en +∞.
Nous avons ici la forme indéterminée +∞ -∞.
Pour lever l'indétermination, on peut penser à la factorisation par x. Mais, vous pouvez le vérifier, vous aurez une autre forme indéterminée à savoir ∞ . 0.
La solution est d'utiliser la forme conjuguée.