Baccalauréat Exercices 3 - Limites de fonctions

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Exercice 1

Calculer la limite en -1 pour la fonction f définie par

f(x) = x2 - x - 2 / x2 - 1

Solution

lim x→-1  f(x) = lim x→-1 x2 - x - 2 / x2 - 1
  = lim x→-1 (x + 1)(x - 2) / (x + 1)(x - 1)
  = lim x→-1 x - 2 / x - 1
  = 3 / 2

Exercice 2

Calculer la limite en 2 pour la fonction f définie par

f(x) = x2 - 4 / x2 - 4x + 4

Solution

lim x→2  f(x) = lim x→2 x2 - 4 / x2 - 4x + 4
  = lim x→2 (x + 2)(x - 2) / (x - 2)2
  = lim x→2 x + 2 / x - 2

Le dénominateur tend vers 0, donc le résultat de la limite est différent à droite et à gauche de 2.

lim x→2 x < 2  f(x) = lim x→2 x < 2 x + 2 / x - 2
  = -∞
lim x→2 x > 2  f(x) = lim x→2 x > 2 x + 2 / x - 2
  = +∞

Exercice 3

Calculer la limite en 4 pour la fonction f définie par

Solution

Exercice 4

Calculer la limite en 1 pour la fonction f définie par

f(x) = |x - 1| / x2 - 1

Solution

Pour x<1, x-1<0. Donc |x - 1| = -(x - 1)

Pour x>1, x-1>0. Donc |x - 1| = x - 1

lim x→1 x < 1  f(x) = lim x→1 x < 1 |x - 1| / x2 - 1
  = lim x→1 x < 1 -(x - 1) / (x - 1)(x + 1)
  = lim x→1 x < 1 -1 / x + 1
  = -1 / 2
lim x→1 x > 1  f(x) = lim x→1 x > 1 |x - 1| / x2 - 1
  = lim x→1 x > 1 x - 1 / (x - 1)(x + 1)
  = lim x→1 x > 1 1 / x + 1
  = 1 / 2