Baccalauréat Exercices 2 - Limites de fonctions

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Exercice 1

Calculer les limites en -∞ et +∞ pour la fonction f définie par

f(x) = x3 + 3x - 5 / 7 - x

Solution

lim x→-∞  f(x) = lim x→-∞ x3 + 3x - 5 / 7 - x
  = lim x→-∞ x3 / -x
  = lim x→-∞ -x2
  = -∞
lim x→+∞  f(x) = lim x→+∞ x3 + 3x - 5 / 7 - x
  = lim x→+∞ x3 / -x
  = lim x→+∞ -x2
  = -∞

Exercice 2

Calculer les limites en -∞ et +∞ pour la fonction f définie par

f(x) = (x2 + 2x + 2)(2 - x) / x2 - 4

Solution

Nous pouvons utiliser la règle du monôme de plus haut degré. En ce qui concerne le produit

(x2 + 2x + 2)(2 - x)

le monôme de plus haut degré est le produit des monômes de plus hauts degrés des deux facteurs

x2 . (-x) = -x3

lim x→-∞  f(x) = lim x→-∞ (x2 + 2x + 2)(2 - x) / x2 - 4
  = lim x→-∞ -x3 / x2
  = lim x→-∞ -x
  = +∞
lim x→+∞  f(x) = lim x→+∞ (x2 + 2x + 2)(2 - x) / x2 - 4
  = lim x→+∞ -x3 / x2
  = lim x→+∞ -x
  = -∞

Exercice 3

Calculer la limite en +∞ pour la fonction f définie par

Solution

Je factorise par √x3.

Exercice 4

Calculer la limite en +∞ pour la fonction f définie par

Solution

Je factorise par √x2 et par √x3 et puis je simplifie par √x2.

Exercice 5

Calculer la limite en 2 pour la fonction f définie par

f(x) = 2 / x - 2 - x / x2 - 4

Solution

Le résultat de la limite est différent à droite et à gauche de 2.

lim x→2 x < 2  f(x) = lim x→2 x < 2 2 / x - 2 - x / x2 - 4
  = lim x→2 x < 2 2 / x - 2 - x / (x - 2)(x + 2)
  = lim x→2 x < 2 2(x + 2) - x / (x - 2)(x + 2)
  = lim x→2 x < 2 x + 4 / (x - 2)(x + 2) (Cela donne 6 / 0- . 4 )
  = -∞
lim x→2 x > 2  f(x) = lim x→2 x > 2 2 / x - 2 - x / x2 - 4
  = lim x→2 x > 2 2 / x - 2 - x / (x - 2)(x + 2)
  = lim x→2 x > 2 2(x + 2) - x / (x - 2)(x + 2)
  = lim x→2 x > 2 x + 4 / (x - 2)(x + 2) (Cela donne 6 / 0+ . 4 )
  = +∞